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División de Números Complejos


Ya se consideró la suma y la multiplicación de números complejos y entre otras cosas se ve que la suma y multiplicación de 2 números complejos nos da como resultado otro número complejo, ¿que hay de la división, sucede lo mismo? Analicemos el siguiente ejemplo:

 

\frac{a+bi}{c+di}

 

Vamos a multiplicar arriba y abajo por c-di (conjugado complejo):

 

\frac{\left ( a+bi \right )\left ( c-di \right )}{\left ( c+di \right )\left ( c-di \right )}

 

Lo que tenemos abajo es una diferencia de cuadrados \left ( c+di \right )\left ( c-di \right ) que es lo mismo que c^{2}-\left ( di \right )^{2}=c^{2}-d^{2}i^{2} pero i^{2}=-1 entonces quedaría:

c^{2}-d^{2}\left ( -1 \right )=c^{2}+d^{2} donde la unidad imaginaria  se ha eliminado.

 

Ejemplos de división

 

\frac{3+2i}{4+i}=\frac{\left ( 3+2i \right )\left ( 4-i \right )}{\left ( 4+i \right )\left ( 4-i \right )}=\frac{12-3i+8i-2i^{2}}{4^{2}-i^{2}}=\frac{12+5i+2}{17}=\frac{14}{17}+\frac{5i}{17}  palomita

 

\frac{8-3i}{3-2i}=\frac{\left (8-3i \right )\left ( 3+2i \right )}{\left ( 3-2i \right )\left ( 3+2i \right )}=\frac{24+16i-9i-6i^{2}}{3^{2}-2i^{2}}=\frac{30+7i}{13}=\frac{30}{13}+\frac{7i}{13}  palomita