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Soluciones a la Ecuación Cuadrática Completando el Cuadrado


Una forma de encontrar las soluciones o raíces de una ecuación cuadrática es el método de completar el cuadrado. Este método da cierta "perspicacia" o permite ver cosas que no serían notadas si empleamos la fórmula cuadrática. Es preferible usar el método de completar el cuadrado para encontrar las soluciones de una ecuación hasta el punto de tenerlo dominado y después podríamos usar la fórmula cuadrática que es un poco más sencilla. Para empezar recordemos las siguientes identidades:

 

\left ( x+e \right )^{2}=x^{2}+2ex+e^{2}

 

\left ( x-e \right )^{2}=x^{2}-2ex+e^{2}

 

Vamos a usar estas identidades para explicar el método de completar el cuadrado, ejemplo:

 

x^{2}-3x

 

¿Qué hay que agregar al ejemplo para poder factorizarlo en un binomio al cuadrado? Comparemos el ejemplo con la segunda identidad :

x^{2}-3x

x^{2}-2ex+e^{2}=\left ( x-e \right )^{2}

 

Ambos tienen x^{2} y en nuestro caso 2e=3 entonces solo nos faltaria agregar e^{2} para completarlo. Ahora puesto que 2e=3 entonces e=\frac{3}{2} y e^{2}=\frac{9}{4}. A la expresión x^{2}-3 agregamos \frac{9}{4} y tenemos:

 

x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\left (x-\frac{3}{2} \right )^{2}

 

El método de completar el cuadrado y soluciones de una ecuación cuadrática

Con las ideas previas desarrolladas usemos el método de completar el cuadrado para encontrar las raíces de la siguiente ecuación:

 

x^{2}+7x-5=0

 

La ecuación puede reescribirse como:

 

x^{2}+7x=5

 

Para que el lado izquierdo de la ecuación pueda expresarse como un cuadrado perfecto agregamos "e^{2}" en ambos lados, puesto que 2e=7 entonces e=\frac{7}{2} y e^{2}=\frac{49}{4}, tenemos:

 

x^{2}+7x+\frac{49}{4}=5+\frac{49}{4}

 

\left (x+\frac{7}{2} \right )^{2}=\frac{20}{4}+\frac{49}{4}=\frac{69}{4}

 

Después sacamos raiz cuadrada a ambos lados:

 

\sqrt{\left (x+\frac{7}{2} \right )^{2}}=\sqrt{\frac{69}{4}}

 

x+\frac{7}{2}=\sqrt{\frac{69}{4}}  ó   x+\frac{7}{2}=-\sqrt{\frac{69}{4}}

 

Es lo mismo que:

 

x=-\frac{7}{2}+\sqrt{\frac{69}{4}}   ó  x=-\frac{7}{2}-\sqrt{\frac{69}{4}}  palomita

 

Y estas son las dos raíces de la ecuación.

 

Ejercicios

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas usando el método de completar el cuadrado:

x^{2}+5x+3=0

 

6x^{2}+3x+1=0

 

Soluciones