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Fracciones Parciales


Sabemos que una expresión del tipo:

 

\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+1}

 

Puede simplificarse para obtener el resultado \frac{5x-1}{x^{2}-1} haciendo las operaciones siguientes:

 

\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+1}=\frac{2\left ( x+1 \right )}{\left ( x-1 \right )\left ( x+1 \right )}+\frac{3\left ( x-1 \right )}{\left ( x+1 \right)\left ( x-1 \right ) }=\frac{2x+2}{x^{2}-1}+\frac{3x-3}{x^{2}-1}=\frac{5x-1}{x^{2}-1}

 

El proceso inverso es decir empezar con una fracción simple y llevarlo a una suma de fracciones es el que nos interesa y se llama expansión por fracciones parciales. El método es sencillo, primero se factoriza el denominador y se determinan los valores A y B tales que:

 

\frac{10x+6}{x^{2}-1}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}

 

Ahora ponemos el lado derecho usando el mismo denominador que en el lado izquierdo,para esto hacemos:

 

\frac{10x+6}{x^{2}-1}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}=\frac{A\left ( x-1 \right )}{\left (x+1 \right )\left (x-1 \right )}+\frac{B\left (x+1 \right )}{\left (x-1 \right )\left (x+1 \right )}

 

Haciendo operaciones eso nos lleva a:

 

\frac{10x+6}{x^{2}-1}=\frac{Ax-A}{x^{2}-1}+\frac{Bx+B}{x^{2}-1}=\frac{Ax-A+Bx+B}{x^{2}-1}

 

Puesto que los denominadores son iguales las A's y B's deben sumar 10x+6 factorizamos y tenemos:

 

x\left ( A+B \right )+\left ( B-A \right )=10x+6

 

De esta ecuación lineal puede verse que:

 

A+B=10

B-A=6

 

Resolviendo da como resultado A=2 y B=8 por lo tanto:

 

\frac{10x+6}{x^{2}-1}=\frac{2}{x+1}+\frac{8}{x-1} palomita