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Fracciones Parciales (Ejemplos)


Vamos a ver más ejemplos de convertir una fracción algebraica en una suma de fracciones parciales, el método fue descrito en la entrada "Fracciones Parciales". En el siguiente ejemplo tenemos que encontrar los valores para A , B y C:

 

\frac{1}{\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )^{2}}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{\left ( x-1 \right )^{2}}

 

Este caso es ligeramente distinto a los expuestos en Fracciones Parciales, tomemos nota de que cada numerador del lado derecho de la igualdad es un polinomio de un grado menor que el grado del término dentro del paréntesis de su denominador. Aquí ponemos constantes (A , B y C) pues el grado de cada denominador es 1. Además el factor \left ( x-1 \right )^{2} tiene exponente 2 afuera del paréntesis por lo tanto aparece dos veces, una como x-1 y la segunda como \left ( x-1 \right )^{2}. Procedamos a las operaciones en el lado derecho de la igualdad, para empezar sumaremos las 2 primeras fracciones para después sumar la tercera:

 

\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{\left ( x-1 \right )^{2}}=\frac{A\left ( x-1 \right )}{\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )}+\frac{B\left ( x+1 \right )}{\left ( x-1 \right )\left ( x+1 \right )}+\frac{C}{\left ( x-1 \right )^{2}}=

 

\frac{A\left ( x-1 \right )+B\left ( x+1 \right )}{\left ( x-1 \right )\left ( x+1 \right )}+\frac{C}{\left ( x-1 \right )^{2}}=\frac{A\left ( x-1 \right )^{2}+B\left ( x^{2}-1 \right )+C\left ( x+1 \right )}{\left ( x-1 \right )^{2}\left ( x+1 \right )}

 

Después de haber hecho operaciones vemos que los numeradores de ambas fracciones nos dan la igualdad siguiente:

 

A\left ( x-1 \right )^{2}+B\left ( x^{2}-1 \right )+C\left ( x+1 \right )=1

 

La ecuación puede ser resuelta de varias formas, en la entrada "Fracciones Parciales" se describió un método, una forma más sencilla para este caso sería hacer x=1 quedando:

 

2C=1   ,   C=\frac{1}{2}

 

De forma parecida hacemos x=-1 que nos da:

 

4A=1   ,   A=\frac{1}{4}

 

Y por último B=0 resulta en:

 

A-B+C=1   ,   B=-\frac{1}{4}

 

De esta forma hemos encontrado los valores que buscabamos A=\frac{1}{4}  ,  B=-\frac{1}{4}  y  C=\frac{1}{2} y la expansión en fracciones parciales es:

 

\frac{1}{\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )^{2}}=\frac{1}{4\left ( x+1 \right )}-\frac{1}{4\left ( x-1 \right )}+\frac{1}{2\left ( x-1 \right )^{2}}  palomita