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Divisibilidad de \frac{a^{n} \pm b^{n}}{a \pm b}


La divisibilidad de \frac{a^{n} \pm b^{n}}{a \pm b} se resume en los siguientes puntos:

 

1.- \frac{a^{n} - b^{n}}{a - b}  siempre es divisible.

 

2.- \frac{a^{n} + b^{n}}{a + b} es divisible si n es impar.

 

3.-  \frac{a^{n} - b^{n}}{a + b} es dividible si n es par.

 

4.-  \frac{a^{n} + b^{n}}{a - b} nunca es divisible.

 

Ejemplo

\frac{x^{5}-1}{x-1} es del tipo \frac{a^{n} - b^{n}}{a - b} por lo tanto siempre es divisible. Si factorizamos el numerador se puede ver más claro:

 

x^{5}-1=\left ( x-1 \right )\left ( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 \right )

 

El hecho que x^{5}-1 incluya como factor a \left ( x-1 \right ) implica que es divisible por él.