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Divisibilidad de un Polinomio por x-a


Decimos que un polinomio entero (que ninguno de sus términos tiene denominador literal) es divisible por x-a si al sustituir la x en él por la a éste se anula. Siguiendo esta regla veamos si x^{2}+5x-6 es divisible por x+6 , en este caso a=-6 pues x+6=x-\left ( -6 \right ), veamos si el polinomio se anula al hacer x=-6 :

 

x^{2}+5x-6=\left ( -6 \right )^{2}+5\left ( -6 \right )-6=36-30-6=0

 

El polinomio se anula con x=-6 entonces sí es divisible por x+6, lo comprobamos al ver que el trinomio puede factorizarse como:

 

x^{2}+5x-6=\left ( x-1 \right )\left ( x+6 \right )

 

Puesto que x^{2}+5x-6 tiene como factor a \left ( x+6 \right ) entonces es divisible por él. Otro ejemplo: sin efectuar la división ni factorizar encuentra si el polinomio x^{3}-4x^{2}+7x-6 es divisible por x-2. El polinomio será divisible si se anula para x=2.

 

\left ( 2 \right )^{3}-4\left ( 2 \right )^{2}+7\left ( 2 \right )-6=8-16+14-6=0

 

La respuesta es sí, el polinomio x^{3}-4x^{2}+7x-6 es divisible por x-2