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Problema (Ecuaciones)


Jahaziel compró 3 plumas, 7 lapices y una regla y pagó 31.50 pesos. Oscar  compró 4 plumas, 10 lápices y una regla y pagó 42 pesos. Adrián compró una pluma, un lápiz y una regla. ¿Cuánto pagó Adrián?

 

El enunciado puede ponerse de la siguiente forma: sea p el precio delas plumas, l el de los lápices, r el de la regla y C lo que pagó Adrián, entonces:

 

3p+7l+1r=31.5

 

4p+10l+1r=42

 

1p+1l+1r=C

 

Puesto que es un sistema de ecuaciones con dos ecuaciones y tres variables no es posible encontrar el valor de cada artículo y luego sustituirlo en la tercera ecuación, por lo tanto el método a seguir es encontrar alguna combinación de las primeras ecuaciones tales que al sumarlas nos de la tercera. En otras palabras buscamos dos números a y b tales que al multiplicar la primera ecuación por a y la segunda por b y sumar los resultados nos den la tercera ecuación. Por prueba y error no es muy difícil llegar a la conclusión de que esos números son a=3 y b=-2 pues:

 

3\left ( 3p+7l+1r \right )=9p+21l+3r=94.5

 

-2\left ( 4p+10l+1r \right )=-8p-20l-2r=-84

 

Después sumamos ambas ecuaciones y tenemos:

 

+9p+21l+3r=+94.5

-8p-20l-2r=-84

_____________________________

+1p+1l+1r=+10.5  palomita

 

Entonces el resultado buscado es 10.5 pesos. Un método específico para saber cuales son los números a y b por los cuales había que multiplicar las ecuaciones es el siguiente, primero notemos que:

 

a\left ( 3p+7l+1r \right )=3ap+7al+ar

 

b\left ( 4p+10l+1r \right )=4bp+10bl+br

 

En este punto solo nos interesan los coeficientes, queremos que al sumarlos nos den 1 pues esos son los coeficientes de la última ecuación. Sería:

 

3a+4b=1

 

7a+10b=1

 

a+b=1

 

En este nuevo sistema de ecuaciones sí podemos conocer el valor de cada incógnita, resolviendo las dos primeras por el método que más te agrade llegamos a las soluciones a=3 , b=-2. Estas soluciones satisfacen la tercera ecuación lo que nos muestra que el sistema inicial sí tiene solución. Por último tenemos que C es tres veces la primera ecuación menos dos veces la segunda (del sistema inicial):

 

C=3\left ( 31.5 \right )-2\left ( 42 \right )=10.5  palomita