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Problema 4 (teoría de números)


Encontrar a y b enteros tales que:

 

\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+\frac{1}{5\times 7}+...+\frac{1}{999\times 1001}=\frac{a}{b}.

 

Solución.-Observemos primero que los términos de la suma son de la forma \frac{1}{x\left ( x+2 \right )}, la cual puede expresarse en suma de fracciones más simples o parciales del siguiente modo:

 

\frac{1}{x\left ( x+2 \right )}=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{x}-\frac{1}{x+2} \right )

 

Usando esta igualdad la suma del problema quedaría:

 

\frac{a}{b}=\frac{1}{2}\left [ \left ( \frac{1}{1}-\frac{1}{3} \right )+\left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{5} \right )+\left ( \frac{1}{5}-\frac{1}{7} \right )+...+\left ( \frac{1}{999}-\frac{1}{1001} \right ) \right ]

 

Muchos de los términos se cancelan entre ellos y nos queda:

 

\frac{a}{b}=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{1}-\frac{1}{1001} \right )=\frac{1}{2}\left ( \frac{1000}{1001} \right )=\frac{500}{1001}