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Binomio al Cuadrado


Un binomio es una expresión algebraica que consta de dos términos, los siguientes son ejemplos de binomios:

 

a+b

 

3x^{2}b-y^{3}b^{3}

 

\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}

 

Cuando un binomio es elevado al cuadrado se expresa así:

 

\left (a+b \right )^{2}

 

\left (3x^{2}b-y^{3}b^{3} \right )^{2}

 

\left (\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}} \right )^{2}     Binomio al cuadrado con fracciones.

 

El exponente 2 nos indica que el binomio se multiplica por sí mismo, el binomio al cuadrado es un producto notable o dicho de otra manera es muy importante, si efectuamos operaciones para ver el resultado del primer ejemplo de binomio al cuadrado nos daría:

 

\left (a+b \right )=a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}

 

Dejemos que a represente a cualquier monomio que puede haber y lo mismo digamos de b, entonces tendríamos la siguiente regla:

 

Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

 

Usando esta regla el desarrollo de un binomio al cuadrado es más sencillo. Ejemplo:

 

\left (3x^{2}b-y^{3}b^{3} \right )^{2}

 

Notemos que el primer término en este binomio corresponde a 3x^{2}b y el segundo es -y^{3}b^{3}, según la regla elevamos al cuadrado el primer término:

 

\left (3x^{2}b \right )^{2}=9x^{4}b^{2}

 

Después el doble producto del primer término por el segundo:

 

2\left ( 3x^{2}b \right )\left ( -y^{3}b^{3} \right )=-6x^{2}y^{3}b^{4}

 

Por último el cuadrado del segundo término:

 

\left ( -y^{3}b^{3} \right )^{2}=y^{6}b^{6}

 

Sumamos todos los términos y tenemos:

 

\left (3x^{2}b-y^{3}b^{3} \right )^{2}=9x^{4}b^{2}-6x^{2}y^{3}b^{4}+y^{6}b^{6}  palomita

 

Puedes ver algunos ejercicios resueltos de binomio al cuadrado con fracciones en la siguiente entrada, también se analiza el caso en el que alguno de los términos contiene radicales.

 

Ejercicios

Elevar al cuadrado los siguientes binomios:

\left ( x-1 \right )^{2}

 

\left ( x^{z}-y \right )^{2}

 

\left ( 1-\frac{1}{z} \right )^{2}

 

Soluciones