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Producto Escalar de Dos Vectores


El producto escalar de dos vectores da como resultado un escalar, para que pueda efectuarse el producto escalar es necesario que ambos vectores posean el mismo número de componentes, supongamos que  tenemos los vectores \mathbf{a} y \mathbf{b}:

 

\mathbf{a}=\begin{pmatrix}1 & 3 & 0 &-3 \end{pmatrix}

 

\mathbf{b}=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 3\\ -2\end{pmatrix}

 

Se puede hacer el producto escalar pues cada vector tiene cuatro componentes, el producto escalar se efectúa de la siguiente forma:

 

\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=1\cdot 1+3\cdot 0+0\cdot 3+\left ( -3\cdot -2 \right )=1+0+0+6=7

 

Como se puede ver el resultado ha sido un escalar. El procedimiento general es el siguiente:

 

\mathbf{a}=\begin{pmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ .\\ .\\ .\\ a_{n}\end{pmatrix}

 

\mathbf{b}=\begin{pmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ .\\ .\\ .\\ b_{n}\end{pmatrix}

 

\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+...+a_{n}\cdot b_{n}

 

Otro ejercicio resuelto de producto escalar de dos vectores:

 

\mathbf{a}=\begin{pmatrix}3 & 5 & 0 &1 \end{pmatrix}

 

\mathbf{b}=\begin{pmatrix}9\\ 0\\ 2\\ 1\end{pmatrix}

 

\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=3\cdot 9+5\cdot 0+0\cdot 2+1\cdot 1=27+0+0+1=28  palomita

 

Ejercicios

 

\begin{pmatrix}3\\ 1\\ 2\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 &-1 &0 &1 \end{pmatrix}

 

\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-x &3 &z \end{pmatrix}

 

\begin{pmatrix}\sqrt{2}\\ \frac{1}{2}\\ 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sqrt{2} &6 &m \end{pmatrix}

 

Soluciones