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¿Cómo Calcular la Inversa de una Matriz 2\times 2?


En el post "Inversa de una Matriz Cuadrada" se estableció que no todas las matrices tienen inversa, por lo tanto la primera pregunta que hay que responder es ¿Qué matrices son invertibles? Para responder esta pregunta introduciremos el concepto de determinante.

 

Determinante

En una matriz A de tamaño 2\times 2 se llama  determinante de A (det A) al resultado de la operación a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} esto es:

 

det A=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}

 

Ejemplo:

 

A=\begin{pmatrix}2 &-1 \\ 3 & 0\end{pmatrix}

 

det A=2\cdot 0-\left ( -1\cdot 3 \right )=0+3=3

 

Una vez expuesto esto diremos que una matriz A de tamaño 2\times 2 es invertible si y sólo si su determinante es distinto de 0 esto es det A\neq 0.

 

Cálculo de matriz inversa de tamaño 2\times 2

Supongamos que una matriz es invertible y queremos saber cuál es su matriz inversa. Analicemos el siguiente ejemplo:

 

A=\begin{pmatrix}2 &-1 \\ 3 & 0\end{pmatrix}

 

B=\begin{pmatrix}x &y \\ z &w \end{pmatrix}

 

AB=\begin{pmatrix}1 &0 \\ 0 &1 \end{pmatrix}

 

Como puede notarse B es la matriz inversa de A  y queremos encontrar los valores para x , y , z y w, estos valores vienen dados por:

 

B=A^{-1}=\frac{1}{det A}\begin{pmatrix}a_{22} &-a_{12} \\ -a_{21} &a_{11} \end{pmatrix}

 

Con esta fórmula podemos saber la inversa de una matriz suponiendo que tiene inversa. Ya hemos calculado det A y sabemos que es igual a 3, por lo tanto aplicamos la fórmula que acabamos de ver:

 

B=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}0 &-\left ( -1 \right ) \\ -3 &2 \end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}0 &1 \\ -3 &2 \end{pmatrix}

 

B=\begin{pmatrix}0 &\frac{1}{3} \\ -1 &\frac{2}{3} \end{pmatrix}  palomita

 

Hemos encontrado la inversa de una matriz de tamaño 2\times 2.