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Multiplicación de Matrices


La multiplicación de matrices es algo parecido a lo visto en "Producto Escalar de dos Vectores" sin embargo el resultado no será un escalar, más bien será una matriz. Suponiendo que tenemos dos matrices, una matriz A de tamaño m\times n y una matriz B de tamaño n\times p al multiplicarlas nos quedara una matriz C de tamaño m\times p cuyas componentes vienen dadas por:

 

c_{ij}= Producto escalar del renglón i de la matriz A y la columna j de la matriz B

 

Para que dos matrices puedan multiplicarse entre ellas es necesario que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de renglones de la segunda matriz. Además puede ser posible que A\cdot B\neq B\cdot A es decir la ley conmutativa no se cumple en la multiplicación  de matrices. Ejemplo de multiplicación de dos matrices de tamaño 2\times 2:

 

\begin{pmatrix}1 &2 \\ 3 &4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5 &6 \\ 7 &8 \end{pmatrix}

 

Lo primero que hay que revisar es si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de renglones de la segunda, en nuestro caso se cumple (2 columnas en la primera y 2 renglones en la segunda). El resultado será una matriz C de tamaño 2\times 2:

 

C=\begin{pmatrix}c_{11} &c_{12} \\ c_{21} &c_{22} \end{pmatrix}

 

Para saber el valor de c_{11} tenemos:

 

c_{11}= Producto escalar del renglón 1 de la primera matriz y la columna 1 de la segunda matriz.

 

c_{11}=\begin{pmatrix}1 &2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}=1\cdot 5+2\cdot 7=5+14=19

 

De forma análoga:

 

c_{12}= Producto escalar del renglón 1 de la primera matriz y la columna 2 de la segunda matriz.

 

c_{12}=\begin{pmatrix}1 &2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\8\end{pmatrix}=1\cdot 6+2\cdot 8=6+16=22

 

c_{21}=\begin{pmatrix} 3&4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}=3\cdot 5+4\cdot 7=15+28=43

 

c_{22}=\begin{pmatrix} 3&4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}6\\8\end{pmatrix}=3\cdot 6+4\cdot 8=18+32=50

 

Una vez teniendo las componentes de la matriz C nos quema:

 

\begin{pmatrix}1 &2 \\ 3 &4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5 &6 \\ 7 &8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19 &22\\ 43 &50 \end{pmatrix}  palomita