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Eliminación Gauss-Jordan


Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones (uno de ellos aquí), veamos el método de eliminación Gauss-Jordan que incluye matrices.Tomemos como ejemplo el siguiente sistema:

 

7x+4y=13

5x-2y=19

 

Las soluciones del sistema son los valores x , y para los cuales se satisfacen ambas igualdades. Para usar el método de eliminación Gauss-Jordan escribiremos este sistema de la siguiente manera:

 

A=\begin{pmatrix}7 &4 &| &13 \\ 5 &-2 &| &19 \end{pmatrix}

 

A la que llamaremos matriz aumentada. Como vemos los coeficientes del sistema de ecuaciones han sido puestos como filas en la matriz  aumentada, incluimos además el resultado de la suma de las incógnitas poniendo un | como separador. Para resolver el sistema de ecuaciones deberíamos poder llegar a la siguiente matriz:

 

R=\begin{pmatrix}1 &0 &| &? \\ 0 &1 &| &? \end{pmatrix}

 

Se puede notar que los coeficientes de x e y son ahora 1 y donde aparece el signo ? deberíamos tener los valores para cada incógnita que satisfacen el sistema inicial. Para que los resultados sean válidos la matriz anterior debe ser una matriz equivalente a la matriz aumentada A y esto lo logramos sólo si seguimos las siguientes reglas:

 

  • Multiplicar o dividir una fila o renglón por un número distinto de cero.
  • Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
  • Intercambiar dos renglones.

 

Las reglas anteriores también se llaman operaciones que podemos hacer con los renglones. Entonces ya tenemos a dónde queremos llegar (la matriz resultado R) y los pasos que podemos usar para llegar ahí (operaciones con renglones) solo nos queda encontrar el camino más rápido.

 

Eliminación Gauss-Jordan

Observemos las siguientes operaciones sobre la matriz aumentada y luego vamos a comentarlas:

 

\begin{pmatrix}7 &4 &| &13 \\ 5 &-2 &| &19 \end{pmatrix}

 

Dividimos el primer renglón de la matriz aumentada por 7

 

\begin{pmatrix}1 &\frac{4}{7} &| &\frac{13}{7} \\ 5 &-2 &|& 19 \end{pmatrix}

 

Multiplicamos el primer renglón por 5

 

\begin{pmatrix}5 &\frac{20}{7} &| &\frac{65}{7}\end{pmatrix}

 

Al segundo renglón de la matriz aumentada le restamos el resultado anterior:

 

\begin{pmatrix}1 &\frac{4}{7} &| &\frac{13}{7} \\ 0 &-\frac{34}{7} &| &\frac{68}{7} \end{pmatrix}

 

Dividimos el segundo renglón por -\frac{34}{7}

 

\begin{pmatrix}1 &\frac{4}{7} &| &\frac{13}{7} \\ 0 &1 &| &-2 \end{pmatrix}

 

Multiplicamos el segundo renglón por \frac{4}{7}

 

\begin{pmatrix}0 &\frac{4}{7} &| &-\frac{8}{7} \end{pmatrix}

 

A la primera fila de la matriz aumentada le restamos el renglón anterior:

 

\begin{pmatrix}1 &0 &| &3 \\ 0 &1 &| &-2 \end{pmatrix}

 

Hemos llegado a la matriz resultado que buscábamos, que básicamente nos dice:

 

1x+0y=3

0x+1y=-2

 

En otras palabras nos está dando las soluciones del sistema de ecuaciones que se presentó al inicio, x=3 y y=-2. El procedimiento anterior se llama eliminación Gauss-Jordan, este método de eliminación puede resumirse de la siguiente manera:

 

  1. Se divide el primer renglón entre una constante para que el valor que corresponde a la primera incógnita sea igual a 1.
  2. Se hace que el valor que corresponde a la primera incógnita en el segundo renglón sea igual a cero, esto se logra sumando un múltiplo adecuado del primer renglón al segundo renglón.
  3. Se divide el segundo renglón entre una constante para que el valor que corresponde a la segunda incógnita sea igual a 1.
  4. Se sigue un proceso parecido al del paso número dos para lograr ahora que el valor que corresponde a la segunda incógnita en el primer renglón sea cero.

 

Con estos pasos se logra entender la idea detrás de la eliminación de Gauss-Jordan, la siguiente entrada mostrará cómo usar el método para resolver un sistema de tres incógnitas paso a paso, además introducirá una notación que hace más cómodo la escritura de los pasos.