Skip to main content

Eliminación Gauss-Jordan II


En la entrada "Eliminación Gauss-Jordan" se mostró un ejemplo que explicaba cómo resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas usando una matriz aumentada y el método de eliminación de Gauss-Jordan, además se mencionaron las operaciones que pueden hacerse con los renglones en una matriz aumentada, que son los siguientes:

 

  • Multiplicar o dividir una fila o renglón por un número distinto de cero.
  • Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
  • Intercambiar dos renglones.

 

Ahora introduciremos la siguiente notación que describe las operaciones anteriores:

 

R_{i}\rightarrow cR_{i} nos indica que el renglón i se sustituye por él mismo multiplicado por c.

 

R_{j}\rightarrow R_{j}+cR_{i} quiere decir que el renglón j se sustituye por el resultado de sumar el renglón j más el renglón i multiplicado por c.

 

R_{i}\rightleftharpoons R_{j} sirve para decir que los renglones j e i intercambian posiciones.

 

Usemos la nueva notación y el método de eliminación Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

 

1x_{1}+4x_{2}-1x_{3}=6

2x_{1}+5x_{2}-7x_{3}=-9

3x_{1}-2x_{2}+1x_{3}=2

 

Primero escribimos la matriz aumentada:

 

\begin{pmatrix}1 &4 &-1 &| &6 \\ 2 &5 &-7 &| &-9 \\ 3 &-2 &1 &| &2 \end{pmatrix}

 

Puesto que el coeficiente de x_{1} en el primer renglón ya es 1 pasamos al siguiente paso:

 

\begin{pmatrix}1 &4 &-1 &| &6 \\ 2 &5 &-7 &| &-9 \\ 3 &-2 &1 &| &2 \end{pmatrix}R_{2}\rightarrow R_{2}-2R_{1}\begin{pmatrix}1 &4 &-1 &| &6 \\ 0 &-3 &-5 &| &-21 \\ 3 &-2 &1 &| &2 \end{pmatrix}

 

La notación R_{2}\rightarrow R_{2}-2R_{1} indica que el renglón dos se sustituyó por el resultado de restarle dos veces el renglón uno a él mismo.

 

\begin{pmatrix}1 &4 &-1 &| &6 \\ 0 &-3 &-5 &| &-21 \\ 3 &-2 &1 &| &2 \end{pmatrix}R_{3}\rightarrow R_{3}-3R_{1}\begin{pmatrix}1 &4 &-1 &| &6 \\ 0 &-3 &-5 &| &-21 \\ 0 &-14 &4 &| &-16 \end{pmatrix}

 

Lo que se hizo fue sustituir el renglón tres por el resultado de restarle tres veces el renglón uno a él mismo.

 

\begin{pmatrix}1 &4 &-1 &| &6 \\ 0 &-3 &-5 &| &-21 \\ 0 &-14 &4 &| &-16 \end{pmatrix}R_{2}\rightarrow -\frac{1}{3}R_{2}\begin{pmatrix}1 &4 &-1 &| &6 \\ 0 &1 &\frac{5}{3} &| &7 \\ 0 &-14 &4 &| &-16 \end{pmatrix}

 

R_{2}\rightarrow -\frac{1}{3}R_{2} el segundo renglón se multiplicó por menos un tercio.

 

\begin{pmatrix}1 &4 &-1 &| &6 \\ 0 &1 &\frac{5}{3} &| &7 \\ 0 &-14 &4 &| &-16 \end{pmatrix}R_{1}\rightarrow R_{1}-4R_{2}\begin{pmatrix}1 &0 &-\frac{23}{3} &| &-22 \\ 0 &1 &\frac{5}{3} &| &7 \\ 0 &-14 &4 &| &-16 \end{pmatrix}

 

R_{1}\rightarrow R_{1}-4R_{2} el renglón uno se sustituye por el resultado de restar cuatro veces el renglón dos a él mismo.

 

\begin{pmatrix}1 &0 &-\frac{23}{3} &| &-22 \\ 0 &1 &\frac{5}{3} &| &7 \\ 0 &-14 &4 &| &-16 \end{pmatrix}R_{3}\rightarrow R_{3}+14R_{2}\begin{pmatrix}1 &0 &-\frac{23}{3} &| &-22 \\ 0 &1 &\frac{5}{3} &| &7 \\ 0 &0 &\frac{82}{3} &| &82 \end{pmatrix}

 

El siguiente paso es hacer dividir el tercer renglón por ochenta y dos tercios:

 

\begin{pmatrix}1 &0 &-\frac{23}{3} &| &-22 \\ 0 &1 &\frac{5}{3} &| &7 \\ 0 &0 &\frac{82}{3} &| &82 \end{pmatrix}R_{3}\rightarrow \frac{3}{82}R_{3}\begin{pmatrix}1 &0 &-\frac{23}{3} &| &-22 \\ 0 &1 &\frac{5}{3} &| &7 \\ 0 &0 &1 &| &3 \end{pmatrix}

 

Hasta este punto ya hemos averiguado el valor de x_{3}, sigamos con el procedimiento:

 

\begin{pmatrix}1 &0 &-\frac{23}{3} &| &-22 \\ 0 &1 &\frac{5}{3} &| &7 \\ 0 &0 &1 &| &3 \end{pmatrix}R_{1}\rightarrow R_{1}+\frac{23}{3}R_{3}\begin{pmatrix}1 &0 &0 &| &1 \\ 0 &1 &\frac{5}{3} &| &7 \\ 0 &0 &1 &| &3 \end{pmatrix}

 

Ahora también ya sabemos el valor de x_{1} falta el último paso:

 

\begin{pmatrix}1 &0 &0 &| &1 \\ 0 &1 &\frac{5}{3} &| &7 \\ 0 &0 &1 &| &3 \end{pmatrix}R_{2}\rightarrow R_{2}-\frac{5}{3}R_{3}\begin{pmatrix}1 &0 &0 &| &1 \\ 0 &1 &0 &| &2 \\ 0 &0 &1 &| &3 \end{pmatrix}

 

Aquí termina la eliminación Gauss-Jordan, encontramos que los valores de las incógnitas es el siguiente:

 

x_{1}=1

x_{2}=2

x_{3}=3