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Eliminación Gaussiana


La eliminación Gaussiana es un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales basado en matrices, tomemos como ejemplo el siguiente sistema:

 

1x_{1}+4x_{2}-1x_{3}=6

2x_{1}+5x_{2}-7x_{3}=-9

3x_{1}-2x_{2}+1x_{3}=2

 

Este sistema puede expresarse como una matriz aumentada en la que solo pondremos los coeficientes y la parte derecha del sistema usando un separador | queda:

 

\begin{pmatrix}1 &4 &-1 &| &6 \\ 2 &5 &-7 &| &-9 \\ 3 &-2 &1 &| &2 \end{pmatrix}

 

Para resolver el sistema usaremos las siguientes reglas:

 

  • Multiplicar o dividir una fila o renglón por un número distinto de cero.
  • Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
  • Intercambiar dos renglones.

(En la entrada Eliminación Gauss-Jordan se muestran ejemplos sencillos de cómo se realizan estas operaciones)

 

Estas reglas pueden expresarse usando esta notación:

 

R_{i}\rightarrow cR_{i} nos indica que el renglón i se sustituye por él mismo multiplicado por c.

 

R_{j}\rightarrow R_{j}+cR_{i} quiere decir que el renglón j se sustituye por el resultado de sumar el

renglón j más el renglón i multiplicado por c.

 

R_{i}\rightleftharpoons R_{j} sirve para decir que los renglones j e i intercambian posiciones.

 

Ahora resolvamos el sistema usando la eliminación Gaussiana, el primer paso es hacer el coeficiente de x_{1} igual a uno en el primer renglón, pero como en este ejemplo ya es 1 pasemos adelante, el objetivo es hacer cero los coeficientes de la primera incógnita en los renglones 2 y 3, así que hacemos:

 

\begin{pmatrix}1 &4 &-1 &| &6 \\ 2 &5 &-7 &| &-9 \\ 3 &-2 &1 &| &2 \end{pmatrix}R_{2}\rightarrow R_{2}-2R_{1}\begin{pmatrix}1 &4 &-1 &| &6 \\ 0 &-3 &-5 &| &-21 \\ 3 &-2 &1 &| &2 \end{pmatrix}

 

Y para lograr tener cero en el coeficiente de x_{1} en el tercer renglón operamos así:

\begin{pmatrix}1 &4 &-1 &| &6 \\ 0 &-3 &-5 &| &-21 \\ 3 &-2 &1 &| &2 \end{pmatrix}R_{3}\rightarrow R_{3}-3R_{1}\begin{pmatrix}1 &4 &-1 &| &6 \\ 0 &-3 &-5 &| &-21 \\ 0 &-14 &4 &| &-16 \end{pmatrix}

 

 

 

El siguiente paso es hacer 1 el coeficiente de x_{2} en el segundo renglón:

 

\begin{pmatrix}1 &4 &-1 &| &6 \\ 0 &-3 &-5 &| &-21 \\ 0 &-14 &4 &| &-16 \end{pmatrix}R_{2}\rightarrow -\frac{1}{3}R_{2}\begin{pmatrix}1 &4 &-1 &| &6 \\ 0 &1 &\frac{5}{3} &| &7 \\ 0 &-14 &4 &| &-16 \end{pmatrix}

 

La operación R_{2}\rightarrow -\frac{1}{3}R_{2} nos indica que el segundo renglón se multiplicó por menos un tercio, ahora ha que hacer que el coeficiente de x_{2} en la tercera fila sea igual a cero:

 

\begin{pmatrix}1 &4 &-1 &| &6 \\ 0 &1 &\frac{5}{3} &| &7 \\ 0 &-14 &4 &| &-16 \end{pmatrix}R_{3}\rightarrow R_{3}+14R_{1}\begin{pmatrix}1 &4 &-1 &| &6 \\ 0 &1 &\frac{5}{3} &| &7 \\ 0 &0 &\frac{82}{3} &| &82 \end{pmatrix}

 

Por último necesitamos tener el coeficiente de x_{3} igual a uno en la tercera fila:

 

\begin{pmatrix}1 &4 &-1 &| &6 \\ 0 &1 &\frac{5}{3} &| &7 \\ 0 &0 &\frac{82}{3} &| &82 \end{pmatrix}R_{3}\rightarrow \frac{3}{82}R_{3}\begin{pmatrix}1 &4 &-1 &| &6 \\ 0 &1 &\frac{5}{3} &| &7 \\0 &0 &1 &| &3 \end{pmatrix}

 

Con la matriz anterior podemos regresar al sistema inicial y entonces sustituir el valor de la incógnita x_{3} en el segundo renglón para encontrar el valor de x_{2}, y conociendo x_{2} y x_{3} se puede saber el valor de x_{1}:

 

x_{1}+4x_{2}-x_{3}=6
x_{2}+\frac{5}{3}x_{3}=7
x_{3}=3

 

x_{2}+\frac{5}{3}\left ( 3 \right )=7
x_{2}+5=7
x_{2}=2

 

x_{1}+4\left ( 2 \right )-\left ( 3 \right )=6
x_{1}+5=6
x_{1}=1