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Problema 6


Imaginemos que estamos en un concurso de televisión en el que podemos llegar a ganar un auto, la dinámica es simple, frente a nosotros están tres puertas, detrás de una de ellas está un auto, en las otras dos hay cabras, el presentador nos pide que escojamos una puerta, después de eso abre una puerta de las dos restantes y nos muestra que hay una cabra y nos pregunta: tienes la opción de cambiar de puerta ¿Quieres hacerlo?. El problema es: ¿Que es mejor para nosotros, cambiar de puerta, quedarnos con la misma o existen las mismas posibilidades de ganar si cambiamos o nos quedamos igual?

 

 

Antes de empezar con la respuesta hay que tener presente este hecho: al inicio cuando escogemos la primera puerta siempre es más probable que haya una cabra detrás (pues hay dos cabras y solo un carro). Una vez que escogemos la puerta el presentador abre la suya y nos da la opción de cambiar, analicemos por separado las dos opciones.

 

Quedarnos con la misma puerta

Si al inicio hemos escogido la puerta que tiene el carro detrás, entonces:

 

 

 

Si escogimos una puerta con una cabra:

 

 

Resumiendo: podemos decir que si hemos elegido al inicio el carro lo ganamos, si había una cabra lo perdemos, ¿Qué es más probable que escojamos al inicio? siempre es más probable que haya una cabra detrás, dicho de otra forma "si nos quedamos con la misma puerta es más probable que perdamos el auto".

 

Cambiar de puerta

Si al inicio hemos escogido la puerta que tiene el carro detrás, entonces:

 

 

Si escogimos una puerta con una cabra:

 

 

Resumiendo: si al inicio hemos escogido la puerta con el auto lo perdemos, si hemos escogido una puerta con cabra atrás lo ganamos, ¿Qué es más probable que escojamos al inicio? siempre es más probable que haya una cabra detrás, o lo que es lo mismo "si cambiamos de puerta es más probable que ganemos el auto".

Analizadas las dos opciones vemos que si queremos ganar el auto nos conviene más cambiar de puerta, aunque siempre es posible quedarse con una cabra como mascota.

 

Al preguntarnos el presentador si queremos cambiar opción tenemos 2 puertas cerradas ¿No significa eso una probabilidad de 50/50?

En un evento aleatorio cuando hay dos opciones posibles la probabilidad de acertar es \frac{1}{2}, pero este no es un evento completamente aleatorio, nuestra primera decisión afecta la decisión del presentador, por ejemplo si hemos escogido una puerta con una cabra detrás entonces el presentador solo puede escoger la puerta que tiene la otra cabra detrás, no tiene dos opciones. Puesto de manera simple la probabilidad de un evento aleatorio se calcula de forma diferente a la de eventos que están relacionados, el problema que vimos contiene eventos relacionados y por lo tanto no es una probabilidad 50/50.

 

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