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Ecuaciones Bicuadradas


Son ecuaciones bicuadradas las ecuaciones del tipo:

 

ax^{4}+bx^{2}+c=0

 

Como puede apreciarse el grado del primer término es el doble que aquel del segundo término, la constante c indica un valor independiente que no se ve afectado por la variable x. La ecuación anterior puede reducirse a la siguiente forma:

 

at^{2}+bt+c=0

 

Esto se logra con el cambio de variable t=x^{2}, dando lugar a una ecuación de segundo grado que sabes como resolver (ver aquí). Al final regresamos a nuestra variable inicial y encontramos las soluciones de la ecuación original. Veámoslo con un ejemplo:

 

x^{4}+9x^{2}+20=0

 

Aplicamos el cambio de variable t=x^{2} :

 

t^{2}+9t+20=0

 

Resolvemos para t, puede hacerse por la fórmula general o factorización, usaremos factorización:

 

t^{2}+9t+20=\left ( t+5 \right )\left ( t+4 \right )=0

 

t+5=0   entonces   t=-5

 

t+4=0   entonces   t=-4

 

Soluciones: t_{1}=-5     y     t_{2}=-4

 

Ahora volvemos a la ecuación original, recordemos que t=x^{2} entonces:

 

x^{2}=-5 tiene dos resultados:

 

x_{1}=\sqrt{-5}     ó     x_{2}=-\sqrt{-5}

 

 

x^{2}=-4 tiene dos resultados:

 

x=\sqrt{-4}

x_{3}=2i

 

ó

 

x=-\sqrt{-4}

x_{4}=-2i

 

De esta forma encontramos las soluciones de la ecuación bicuadrada original que son \sqrt{-5} , -\sqrt{-5} , 2i , -2i. En resumen se sigue el siguiente proceso para resolver una ecuación bicuadrada:

 

  • Se hace el cambio de variable t=x^{2} (usamos x como incógnita pero puede ser cualquier otra).

 

  • Se resuelve la ecuación resultante para t obteniendo dos valores.

 

  • Se regresa a la variable original sustituyendo x=\pm \sqrt{t} por cada valor de t de la ecuación anterior.

 

Recordemos que el teorema fundamental del álgebra nos dice que en un polinomio de grado 4 deberíamos encontrar 4 soluciones o raíces cuando es igualado a cero.