Skip to main content

Ecuaciones Binomias Ejemplos


En la entrada "Ecuaciones Binomias" se definieron este tipo de ecuaciones y además se presentó la forma de resolverlas, en esta entrada veremos dos ejemplos más de ecuaciones binomias. Resolver para x:

 

x^{3}-64=0

 

La ecuación es una diferencia de cubos ( ¿Cómo factorizarla? ) que puede factorizarse así:

 

x^{3}-64=\left ( x-4 \right )\left ( x^{2}+4x+16 \right )=0

 

\left ( x-4 \right )\left ( x^{2}+4x+16 \right )=0

 

El primer factor de la ecuación nos muestra una solución:

 

x-4=0

 

x_{1}=4

 

Las otras dos soluciones las obtendremos del factor restante:

 

x^{2}+4x+16=0

 

Las raíces se encuentran usando la fórmula cuadrática para los valores a=1 , b=4 y c=16 tenemos:

 

x=\frac{-4\pm \sqrt{\left ( 4 \right )^{2}-4\left ( 1 \right )\left ( 16 \right )}}{2\left ( 1 \right )}

 

x=\frac{-4\pm \sqrt{-48}}{2}=\frac{-4\pm 4\sqrt{-3}}{2}

 

x_{2}=\frac{-4+4\sqrt{3}\sqrt{-1}}{2}=-2+2\sqrt{3}i

 

x_{3}=\frac{-4-4\sqrt{3}\sqrt{-1}}{2}=-2-2\sqrt{3}i

 

Las soluciones a la ecuación binomia son 4 , -2+2\sqrt{3}i y la tercera -2-2\sqrt{3}i. Un último ejemplo de resolución de una ecuación binomia:

 

x^{3}-1=0

 

La ecuación binomia es factorizable al ser una diferencia de cubos:

 

x^{3}-1=\left ( x-1 \right )\left ( x^{2}+x+1 \right )=0

 

Del primer factor se deduce la solución x_{1}=1 y del segundo factor se llega las otras dos soluciones aplicando la fórmula cuadrática:

 

x_{2}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}

 

x_{3}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}