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Forma General de la Ecuación de la Circunferencia

Ya se ha hablado que la circunferencia (aquí) en geometría analítica es representada por la ecuación:

 

\left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}

 

Si desarrollamos ambos binomios y trasladamos todas las variables a el lado izquierdo de la igualdad llegamos a lo que se conoce como forma general de la ecuación de la circunferencia, esto es:

 

x^{2}+y^{2}-2xh-2ky+h^{2}+k^{2}-r^{2}=0

 

Puesto que h,k,r son constantes la ecuación anterior se puede reescribir como:

 

x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0

 

Donde:

 

D=-2h

 

E=-2k

 

F=h^{2}+k^{2}-r^{2}

 

Toda circunferencia puede representarse con la ecuación \left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2} entonces cualquier circunferencia puede escribirse de la forma general puesto que el desarrollo de los binomios no altera la igualdad. Ejemplo: expresa la ecuación de la circunferencia en su forma general cuyo centro es el punto \left ( 3,1 \right ) y radio 2. Primero representamos la circunferencia usando la forma ordinaria:

 

\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=2^{2}

 

\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=4

 

Después desarrollamos ambos binomios y agrupamos términos del lado izquierdo:

 

x^{2}-6x+9+y^{2}-2y+1-4=0

 

x^{2}+y^{2}-6x-2y+6=0

 

Con eso se da por terminado el proceso. Se observa los valores de las siguientes constantes:

 

D=-6

 

E=-2

 

F=6

 

Ejercicios

 

Escribir en su forma general las siguientes circunferencias:

 

x^{2}+y^{2}=1

 

\left ( x-1 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=\frac{1}{4}

 

\left ( x-a \right )^{2}+\left ( y-b \right )^{2}=\left ( b-1 \right )^{2}

 

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