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Ecuación de la Circunferencia que pasa por Tres Puntos


Sabemos que dados tres puntos no colineales (o que no estén sobre la misma recta) se puede dibujar una circunferencia que pase por ellos. Entonces es lógico poder obtener la ecuación de una circunferencia que pase por tres puntos sin necesidad de más datos, solo los tres puntos. Veamos cómo, la idea detrás del método es la siguiente: si un punto está sobre una circunferencia entonces debe cumplir la igualdad en la ecuación que representa dicha circunferencia, la forma general de una ecuación de la circunferencia es:

 

x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0

 

¿Cómo hacer que esta ecuación general pase a ser una ecuación específica o única? Si sustituimos los valores del primer punto en la ecuación entonces la igualdad debe cumplirse, si sustituimos los valores del segundo punto entonces debe cumplirse y así con el último punto. Haciendo esto se pueden encontrar valores específicos para las constantes D,E,F o lo que es lo mismo: encontraremos la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos.

 

Ejemplo

Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos \left ( -1,1 \right ) , \left ( 3,5 \right ) y \left ( 5,-3 \right )

 

circunferencia que pasa por tres puntos

 

Sustituimos los valores de los tres puntos en la ecuación general, para el primer punto tenemos:

 

1+1-D+E+F=0

D-E=2

 

Para el segundo punto:

 

9+25+3D+5E+F=0

3D+5E+F=-34

 

Para el tercer punto:

 

25+9+5D-3E+F=0

5D-3E+F=-34

 

Ahora ya tenemos tres ecuaciones nuevas:

 

D-E=2

3D+5E+F=-34

5D-3E+F=-34

 

Las soluciones a este sistema de ecuaciones (puedes ver cómo se soluciona un sistema de ecuaciones aquí) son:

 

D=-\frac{32}{5}

E=-\frac{8}{5}

F=-\frac{34}{5}

 

Sustituyendo estos valores en la ecuación general encontramos la ecuación específica para la circunferencia que pasa por los tres puntos dados, esto es:

 

x^{2}+y^{2}-\frac{32}{5}x-\frac{8}{5}y-\frac{34}{5}=0

 

Se vé mejor si la multiplicamos por 5 :

 

5x^{2}+5y^{2}-32x-8y-34=0

 

Así termina el problema aunque aún se pueden hacer varias cosas como pasar a la ecuación ordinaria de la circunferencia u obtener el centro y el radio (encuentras cómo hacerlo aquí).