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Pasar de la Forma General a la Forma Ordinaria de la Circunferencia


Existen ventajas a la hora de escribir la ecuación de una circunferencia de la forma general u ordinaria, dependiendo del problema podemos utilizar una u otra, ya se ha visto como pasar de la forma ordinaria a la forma general (aquí) ahora veremos cómo pasar de la forma general a la forma ordinaria. La forma general se vé así:

 

x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0

 

La ecuación anterior representa una circunferencia sólo si D^{2}+E^{2}-4F>0 (si el valor fuera cero entonces representaría un círculo de radio cero, en caso de que el valor fuera menor a cero tendríamos un círculo imaginario). Las coordenadas del centro de dicha circunferencia son:

 

\left ( -\frac{D}{2},-\frac{E}{2} \right )

 

Y el radio viene dado por la fórmula:

 

\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}

 

Veamos un ejemplo, pasar de la forma general a la forma ordinaria la siguiente ecuación:

 

x^{2}+y^{2}+3x-4y+5=0

 

Primero identificamos los valores para D,E,F:

 

D=3

 

E=-4

 

F=5

 

Puesto que D^{2}+E^{2}-4F=9+16-20 es mayor que cero entonces la ecuación sí representa una circunferencia en el plano real, su centro es \left ( -\frac{3}{2},2 \right ) y el radio:

 

\frac{1}{2}\sqrt{\left ( 3 \right )^{2}+\left ( -4 \right )^{2}-4\left ( 5 \right )}

 

\frac{1}{2}\sqrt{9+16-20}=\frac{\sqrt{5}}{2}

 

Por lo tanto la ecuación en su forma ordinaria es:

 

\left ( x+\frac{3}{2} \right )^{2}+\left ( y-2 \right )^{2}=\frac{5}{4}

 

Aunque estas fórmulas funcionan algo más instructivo es usar la técnica de completar el cuadrado (aquí) para hacer el proceso inverso al desarrollo de un binomio al cuadrado y por lo tanto pasar de la forma general a la forma ordinaria.