Skip to main content

Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas


Es relativamente fácil resolver ecuaciones lineales o de segundo grado usando operaciones básicas como suma,resta, división y multiplicación, cuando se nos pide resolver una ecuación en la que la incógnita aparece como exponente entonces necesitaremos hacer uso de logaritmos y sus propiedades además de las operaciones antes mencionadas, un ejemplo de ecuación exponencial es este:

 

2^{x-3}=3

 

¿Cómo resolvemos una ecuación de este tipo? Usando logaritmos, veamos:

 

log\; 2^{x-3}=log\; 3

 

Se ha tomado el logaritmo en ambas partes de la ecuación (la base del logaritmo puede ser cualquiera). Después utilizamos la propiedad "Logaritmo de una potencia" que es log_{b}\; M^{n}=n\; log_{b}\; M es decir:

 

log\; 2^{x-3}=log\; 3

 

\left ( x-3 \right )\; log\; 2=log\; 3

 

A partir de aquí se usan las mismas reglas que empleamos en las ecuaciones que conocemos:

 

x-3=\frac{log\; 3}{log\; 2}

 

x=\frac{log\; 3}{log\; 2}+3

 

Ahora un ejemplo de ecuaciones logarítmicas usando logaritmos vulgares:

 

\log_{10}\left ( x+3 \right )+\log_{10}x=1

 

Recordemos que \log_{10}N+\log_{10}M=\log_{10}NM entonces la ecuación logarítmica anterior es igual a:

 

\log_{10}\left [ x\left ( x+3 \right ) \right ]=1

 

Según lo visto en "Logaritmos" la definición de un logaritmo incluye: \log_{b}x=y  es equivalente a la expresión  x=b^{y}, usando esto en el problema se puede escribir la ecuación de esta nueva forma:

 

x\left ( x+3 \right )=10^{1}

 

x\left ( x+3 \right )-10=0

 

x^{2}+3x-10=0

 

El problema se ha reducido a encontrar las raíces de una ecuación cuadrática (vé cómo hacerlo aquí), las raíces son x=-5,2 por último recordemos que el logaritmo no está definido para números negativos, entonces la única solución es x=2

 

Ejercicios

 

35^{1-2x}=7

 

\log_{10}\left ( x-15 \right )=2-\log_{10}x

 

Soluciones