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Problema 8

La señora Leticia va a empezar una granja por eso decide comprar algunos animales, dentro de su presupuesto está gastar 100 pesos, además quiere iniciar con 100 animales, el precio de las gallinas es de .50 pesos, los cerdos cuestan 3 pesos y los becerros a 10 pesos cada uno. Al menos desea tener un animal de cada uno. ¿Cuantas  gallinas, cerdos y becerros debe comprar de tal manera que tenga 100 animales y gaste los 100 pesos?

 

Para empezar diremos que g representa a el número de gallinas, c al número de cerdos y b la cantidad de becerros a comprar. Sabemos el precio de cada uno, entonces lo primero que hacemos es poner el enunciado que se refiere al precio de los animales de la siguiente forma:

 

\frac{g}{2}+3c+10b=100

 

La ecuación nos dice que el número de gallinas debe dividirse entre dos para obtener el costo (puesto que cuestan 50 centavos), el número de cerdos se multiplica por tres y el número de becerros se multiplica por 10 y sumando todo debe darnos 100 pesos. Por otro lado tenemos:

 

g+c+b=100

 

es decir el número de animales en total debe ser también 100. Juntando las dos ecuaciones tenemos un sistema con tres incógnitas:

 

\frac{g}{2}+3c+10b=100

g+c+b=100

 

Por el método tradicional no es posible resolver el problema, más bien usaremos un truco. Para explicarlo primero multipliquemos por 2 la primera ecuación (para operar sólo con enteros):

 

2\left ( \frac{g}{2}+3c+10b=100 \right )

 

g+6c+20b=200

 

Ahora multiplicamos la segunda ecuación por -1:

 

-1\left ( g+c+b=100 \right )

 

-g-c-b=-100

 

El truco está en agrupar y sumar ambas ecuaciones para obtener una equivalente pero con dos incógnitas en lugar de tres:

 

g-g+6c-c+20b-b=200-100

 

5c+19b=100

 

Ahora el problema se ha convertido en encontrar valores para c y b que cumplan con la igualdad anterior. Miremos más de cerca la ecuación:

 

5c+19b=100

 

Lo primero que notamos es que los valores deben ser enteros (es decir no medias gallinas o un tercio de cerdos), además los valores no pueden ser negativos (¿Quién ha visto -1 cerdo? jaja), por otro lado el valor de b necesariamente es menor que 6 puesto que 19\left ( 6 \right )=114 y 114>100. Empezamos probando valores, digamos que c=1 entonces:

 

5\left ( 1 \right )+19b=100

 

5+19b=100

 

19b=95

 

b=5

 

Sin tanto buscar ya hemos encontrado los valores que necesitamos, c=1 y b=5, solo nos falta saber el valor de g, para esto tomamos la primera ecuación y sustituimos los valores de c y b que hallamos:

 

g+6c+20b=200

 

g+6\left ( 1 \right )+20\left ( 5 \right )=200

 

g+6+100=200

 

g=200-106

 

g=94

 

Ya está hecho, solo falta comprobar que g+c+b=100 que es lo mismo que el número total de animales es 100. Sustituimos los valores:

 

g+c+b=100

 

94+1+5=100  

 

Se cumple la igualdad entonces es correcta la solución, la señora Leticia debe comprar 94 gallinas, 1 cerdo y 5 becerros para tener 100 animales y gastar 100 pesos.