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Racionalización del Denominador


En ocasiones podemos encontrarnos con expresiones del tipo:

 

\frac{3}{\sqrt{2}}

 

En donde el denominador es un número irracional, el proceso mediante el cual convertimos el denominador en un número racional se llama racionalización del denominador para hacerlo multiplicamos numerador y denominador por el radical que se encuentra en el denominador:

 

\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}

 

Es un proceso en realidad simple, veamos otro caso:

 

\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}

 

La técnica que usamos al principio no nos sirve, pero podemos usar el conjugado de la expresión que tenemos en el denominador, recordemos que:

 

\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )=a^{2}-b^{2}

 

\left ( a+b \right ) es el conjugado de \left ( a-b \right ), si a y b son radicales entonces al multiplicar por su conjugado obtendremos números racionales puesto que a^{2} y b^{2} lo serían. El ejemplo queda:

 

\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{1\cdot \left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )}{\left ( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right )\left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )}

 

\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}

 

Lo que hemos hecho es multiplicar el numerador y denominador por el conjugado del denominador y simplificar.

Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas


Es relativamente fácil resolver ecuaciones lineales o de segundo grado usando operaciones básicas como suma,resta, división y multiplicación, cuando se nos pide resolver una ecuación en la que la incógnita aparece como exponente entonces necesitaremos hacer uso de logaritmos y sus propiedades además de las operaciones antes mencionadas, un ejemplo de ecuación exponencial es este:

 

2^{x-3}=3

 

¿Cómo resolvemos una ecuación de este tipo? Usando logaritmos, veamos:

 

log\; 2^{x-3}=log\; 3

 

Se ha tomado el logaritmo en ambas partes de la ecuación (la base del logaritmo puede ser cualquiera). Después utilizamos la propiedad "Logaritmo de una potencia" que es log_{b}\; M^{n}=n\; log_{b}\; M es decir:

 

log\; 2^{x-3}=log\; 3

 

\left ( x-3 \right )\; log\; 2=log\; 3

 

A partir de aquí se usan las mismas reglas que empleamos en las ecuaciones que conocemos:

 

x-3=\frac{log\; 3}{log\; 2}

 

x=\frac{log\; 3}{log\; 2}+3

 

Ahora un ejemplo de ecuaciones logarítmicas usando logaritmos vulgares:

 

\log_{10}\left ( x+3 \right )+\log_{10}x=1

 

Recordemos que \log_{10}N+\log_{10}M=\log_{10}NM entonces la ecuación logarítmica anterior es igual a:

 

\log_{10}\left [ x\left ( x+3 \right ) \right ]=1

 

Según lo visto en "Logaritmos" la definición de un logaritmo incluye: \log_{b}x=y  es equivalente a la expresión  x=b^{y}, usando esto en el problema se puede escribir la ecuación de esta nueva forma:

 

x\left ( x+3 \right )=10^{1}

 

x\left ( x+3 \right )-10=0

 

x^{2}+3x-10=0

 

El problema se ha reducido a encontrar las raíces de una ecuación cuadrática (vé cómo hacerlo aquí), las raíces son x=-5,2 por último recordemos que el logaritmo no está definido para números negativos, entonces la única solución es x=2

 

Ejercicios

 

35^{1-2x}=7

 

\log_{10}\left ( x-15 \right )=2-\log_{10}x

 

Soluciones

Ecuación de la Circunferencia que pasa por Tres Puntos


Sabemos que dados tres puntos no colineales (o que no estén sobre la misma recta) se puede dibujar una circunferencia que pase por ellos. Entonces es lógico poder obtener la ecuación de una circunferencia que pase por tres puntos sin necesidad de más datos, solo los tres puntos. Veamos cómo, la idea detrás del método es la siguiente: si un punto está sobre una circunferencia entonces debe cumplir la igualdad en la ecuación que representa dicha circunferencia, la forma general de una ecuación de la circunferencia es:

 

x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0

 

¿Cómo hacer que esta ecuación general pase a ser una ecuación específica o única? Si sustituimos los valores del primer punto en la ecuación entonces la igualdad debe cumplirse, si sustituimos los valores del segundo punto entonces debe cumplirse y así con el último punto. Haciendo esto se pueden encontrar valores específicos para las constantes D,E,F o lo que es lo mismo: encontraremos la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos.

 

Ejemplo

Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos \left ( -1,1 \right ) , \left ( 3,5 \right ) y \left ( 5,-3 \right )

 

circunferencia que pasa por tres puntos

 

Sustituimos los valores de los tres puntos en la ecuación general, para el primer punto tenemos:

 

1+1-D+E+F=0

D-E=2

 

Para el segundo punto:

 

9+25+3D+5E+F=0

3D+5E+F=-34

 

Para el tercer punto:

 

25+9+5D-3E+F=0

5D-3E+F=-34

 

Ahora ya tenemos tres ecuaciones nuevas:

 

D-E=2

3D+5E+F=-34

5D-3E+F=-34

 

Las soluciones a este sistema de ecuaciones (puedes ver cómo se soluciona un sistema de ecuaciones aquí) son:

 

D=-\frac{32}{5}

E=-\frac{8}{5}

F=-\frac{34}{5}

 

Sustituyendo estos valores en la ecuación general encontramos la ecuación específica para la circunferencia que pasa por los tres puntos dados, esto es:

 

x^{2}+y^{2}-\frac{32}{5}x-\frac{8}{5}y-\frac{34}{5}=0

 

Se vé mejor si la multiplicamos por 5 :

 

5x^{2}+5y^{2}-32x-8y-34=0

 

Así termina el problema aunque aún se pueden hacer varias cosas como pasar a la ecuación ordinaria de la circunferencia u obtener el centro y el radio (encuentras cómo hacerlo aquí).

 

Pasar de la Forma General a la Forma Ordinaria de la Circunferencia


Existen ventajas a la hora de escribir la ecuación de una circunferencia de la forma general u ordinaria, dependiendo del problema podemos utilizar una u otra, ya se ha visto como pasar de la forma ordinaria a la forma general (aquí) ahora veremos cómo pasar de la forma general a la forma ordinaria. La forma general se vé así:

 

x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0

 

La ecuación anterior representa una circunferencia sólo si D^{2}+E^{2}-4F>0 (si el valor fuera cero entonces representaría un círculo de radio cero, en caso de que el valor fuera menor a cero tendríamos un círculo imaginario). Las coordenadas del centro de dicha circunferencia son:

 

\left ( -\frac{D}{2},-\frac{E}{2} \right )

 

Y el radio viene dado por la fórmula:

 

\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}

 

Veamos un ejemplo, pasar de la forma general a la forma ordinaria la siguiente ecuación:

 

x^{2}+y^{2}+3x-4y+5=0

 

Primero identificamos los valores para D,E,F:

 

D=3

 

E=-4

 

F=5

 

Puesto que D^{2}+E^{2}-4F=9+16-20 es mayor que cero entonces la ecuación sí representa una circunferencia en el plano real, su centro es \left ( -\frac{3}{2},2 \right ) y el radio:

 

\frac{1}{2}\sqrt{\left ( 3 \right )^{2}+\left ( -4 \right )^{2}-4\left ( 5 \right )}

 

\frac{1}{2}\sqrt{9+16-20}=\frac{\sqrt{5}}{2}

 

Por lo tanto la ecuación en su forma ordinaria es:

 

\left ( x+\frac{3}{2} \right )^{2}+\left ( y-2 \right )^{2}=\frac{5}{4}

 

Aunque estas fórmulas funcionan algo más instructivo es usar la técnica de completar el cuadrado (aquí) para hacer el proceso inverso al desarrollo de un binomio al cuadrado y por lo tanto pasar de la forma general a la forma ordinaria.

Forma General de la Ecuación de la Circunferencia

Ya se ha hablado que la circunferencia (aquí) en geometría analítica es representada por la ecuación:

 

\left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}

 

Si desarrollamos ambos binomios y trasladamos todas las variables a el lado izquierdo de la igualdad llegamos a lo que se conoce como forma general de la ecuación de la circunferencia, esto es:

 

x^{2}+y^{2}-2xh-2ky+h^{2}+k^{2}-r^{2}=0

 

Puesto que h,k,r son constantes la ecuación anterior se puede reescribir como:

 

x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0

 

Donde:

 

D=-2h

 

E=-2k

 

F=h^{2}+k^{2}-r^{2}

 

Toda circunferencia puede representarse con la ecuación \left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2} entonces cualquier circunferencia puede escribirse de la forma general puesto que el desarrollo de los binomios no altera la igualdad. Ejemplo: expresa la ecuación de la circunferencia en su forma general cuyo centro es el punto \left ( 3,1 \right ) y radio 2. Primero representamos la circunferencia usando la forma ordinaria:

 

\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=2^{2}

 

\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=4

 

Después desarrollamos ambos binomios y agrupamos términos del lado izquierdo:

 

x^{2}-6x+9+y^{2}-2y+1-4=0

 

x^{2}+y^{2}-6x-2y+6=0

 

Con eso se da por terminado el proceso. Se observa los valores de las siguientes constantes:

 

D=-6

 

E=-2

 

F=6

 

Ejercicios

 

Escribir en su forma general las siguientes circunferencias:

 

x^{2}+y^{2}=1

 

\left ( x-1 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=\frac{1}{4}

 

\left ( x-a \right )^{2}+\left ( y-b \right )^{2}=\left ( b-1 \right )^{2}

 

Soluciones

Ecuación de la Circunferencia Ejemplos

En la entrada anterior "Ecuación de la Circunferencia" vimos la ecuación que describe una circunferencia en el plano cuyo centro es el punto \left ( h,k \right ) y radio r, esta ecuación es:

 

\left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}

 

Usando la ecuación anterior ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con radio \frac{1}{2} y centro en \left ( -3,1 \right )? Sustituyendo:

 

\left ( x-\left ( -3 \right ) \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}

 

\left ( x+3 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=\frac{1}{4}

 

Encuentra la ecuación de la circunferencia de los siguientes centros y radios:

 

Centro \left ( 0,0 \right ) y radio 1

 

Centro \left ( 3,-2 \right ) y radio 3

 

Centro \left ( 1,1 \right ) y radio \frac{1}{2}

 

Centro \left ( a,b \right ) y radio b-1

 

Soluciones

 

Distancia de una Recta a un Punto Ejemplos

Encuentra la distancia de la recta con ecuación general 4x+2y-5=0 al punto \left ( 3,1 \right ), para resolver el ejercicio hay que usar la fórmula vista en la entrada "Distancia de una recta a un punto" que es:

 

d=\frac{\left | Ax_{1}+By_{1}+C \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}

 

Sustituimos los valores de la recta y el punto en esta fórmula:

 

d=\frac{\left | 4\cdot 3+2\cdot 1-5 \right |}{\sqrt{4^{2}+2^{2}}}

 

d=\frac{\left | 12+2-5 \right |}{\sqrt{16+4}}

 

d=\frac{\left | 9 \right |}{\sqrt{20}}=\frac{9}{2\sqrt{5}}=\frac{9\sqrt{5}}{10}

 

Ya hechas las operaciones y racionalizado el denominador encontramos la distancia del punto a la recta, en nuestro ejemplo este valor es \frac{9\sqrt{5}}{10}. Otro ejemplo más, ¿Cuál es la distancia de la recta 5x-3y+2 al punto \left ( 2,1 \right )? Usemos la fórmula para saber el resultado, sustituyendo valores tenemos:

 

d=\frac{\left | 5\cdot 2-3\cdot 1+2 \right |}{\sqrt{5^{2}+\left ( -3 \right )^{2}}}

 

d=\frac{\left | 10-3+2 \right |}{\sqrt{25+9}}

 

d=\frac{\left | 9 \right |}{\sqrt{34}}=\frac{9\sqrt{34}}{34}

 

Una vez más se ha racionalizado el denominador y la distancia de la recta al punto es \frac{9\sqrt{34}}{34}.

 

 

Distancia de una Recta a un Punto


A veces es necesario conocer la distancia entre una recta y un punto dado, para ello primero es necesario tener la ecuación de la recta en su forma general (puedes ver como se hace aquí). La distancia de la recta Ax+By+C=0 al punto P_{1}\left ( x_{1},y_{1} \right ) viene dada por la fórmula:

 

d=\frac{\left | Ax_{1}+By_{1}+C \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}

 

Ejemplo: encuentra la distancia de la recta  3x-4y+12=0 al origen es decir \left ( 0,0 \right ), sustituyendo en la fórmula anterior da:

 

d=\frac{\left | 3\cdot 0-4\cdot 0+12 \right |}{\sqrt{3^{2}+\left ( -4 \right )^{2}}}

 

d=\frac{12}{\sqrt{25}}

 

d=\frac{12}{5}

 

La distancia del origen a la recta 3x-4y+12=0 es \frac{12}{5} , recalcamos que la ecuación de la recta debe estar en su forma general.

 

 

 

 

 

Forma General de la Ecuación de una Recta


Sabemos que para conocer la ecuación de una recta necesitamos saber un punto que esté en ella y la pendiente, otra forma es tener dos puntos que pasen por la misma recta, las explicaciones de como hacer esto puedes encontrarlas aquí y aquí respectivamente. Existe algo llamado forma general de la ecuación de la recta, simplemente es expresar la ecuación de la recta en el siguiente formato:

 

Ax+By+C=0

 

En esta ecuación lineal A o B son diferentes de cero. Supongamos que queremos poner la ecuación de la recta en su forma general de la recta que pasa por el punto \left ( 3,8 \right ) y cuya pendiente es 1, entonces usando la fórmula y-y_{1}=m\left ( x-x_{1} \right ) llegamos a:

 

y=x+5

 

Y la forma general de esta recta es:

 

-x+y-5=0

 

Donde A=-1 , B=1 y C=-5.

 

 

Coordenadas Polares a Rectangulares


Para pasar del sistema de coordenadas polares al sistema de coordenadas rectangulares usaremos las siguientes fórmulas:

 

x=r\; cos\; \theta

 

y=r\; sen\; \theta

 

Ejemplo, ¿Cuáles son las coordenadas rectangulares del punto P\left ( 3,120^{\circ} \right )? Usando las fórmulas tenemos:

 

x=3\; cos\; 120^{\circ}

 

x=3\left ( -\frac{1}{2} \right )=-\frac{3}{2}

 

y=3\; sen\; 120^{\circ}

 

y=3\left ( \frac{\sqrt{3}}{2}\right )=\frac{3\sqrt{3}}{2}

 

Entonces las coordenadas rectangulares del punto P son \left ( -\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2} \right ).