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Problema 8

La señora Leticia va a empezar una granja por eso decide comprar algunos animales, dentro de su presupuesto está gastar 100 pesos, además quiere iniciar con 100 animales, el precio de las gallinas es de .50 pesos, los cerdos cuestan 3 pesos y los becerros a 10 pesos cada uno. Al menos desea tener un animal de cada uno. ¿Cuantas  gallinas, cerdos y becerros debe comprar de tal manera que tenga 100 animales y gaste los 100 pesos?

 

Para empezar diremos que g representa a el número de gallinas, c al número de cerdos y b la cantidad de becerros a comprar. Sabemos el precio de cada uno, entonces lo primero que hacemos es poner el enunciado que se refiere al precio de los animales de la siguiente forma:

 

\frac{g}{2}+3c+10b=100

 

La ecuación nos dice que el número de gallinas debe dividirse entre dos para obtener el costo (puesto que cuestan 50 centavos), el número de cerdos se multiplica por tres y el número de becerros se multiplica por 10 y sumando todo debe darnos 100 pesos. Por otro lado tenemos:

 

g+c+b=100

 

es decir el número de animales en total debe ser también 100. Juntando las dos ecuaciones tenemos un sistema con tres incógnitas:

 

\frac{g}{2}+3c+10b=100

g+c+b=100

 

Por el método tradicional no es posible resolver el problema, más bien usaremos un truco. Para explicarlo primero multipliquemos por 2 la primera ecuación (para operar sólo con enteros):

 

2\left ( \frac{g}{2}+3c+10b=100 \right )

 

g+6c+20b=200

 

Ahora multiplicamos la segunda ecuación por -1:

 

-1\left ( g+c+b=100 \right )

 

-g-c-b=-100

 

El truco está en agrupar y sumar ambas ecuaciones para obtener una equivalente pero con dos incógnitas en lugar de tres:

 

g-g+6c-c+20b-b=200-100

 

5c+19b=100

 

Ahora el problema se ha convertido en encontrar valores para c y b que cumplan con la igualdad anterior. Miremos más de cerca la ecuación:

 

5c+19b=100

 

Lo primero que notamos es que los valores deben ser enteros (es decir no medias gallinas o un tercio de cerdos), además los valores no pueden ser negativos (¿Quién ha visto -1 cerdo? jaja), por otro lado el valor de b necesariamente es menor que 6 puesto que 19\left ( 6 \right )=114 y 114>100. Empezamos probando valores, digamos que c=1 entonces:

 

5\left ( 1 \right )+19b=100

 

5+19b=100

 

19b=95

 

b=5

 

Sin tanto buscar ya hemos encontrado los valores que necesitamos, c=1 y b=5, solo nos falta saber el valor de g, para esto tomamos la primera ecuación y sustituimos los valores de c y b que hallamos:

 

g+6c+20b=200

 

g+6\left ( 1 \right )+20\left ( 5 \right )=200

 

g+6+100=200

 

g=200-106

 

g=94

 

Ya está hecho, solo falta comprobar que g+c+b=100 que es lo mismo que el número total de animales es 100. Sustituimos los valores:

 

g+c+b=100

 

94+1+5=100  

 

Se cumple la igualdad entonces es correcta la solución, la señora Leticia debe comprar 94 gallinas, 1 cerdo y 5 becerros para tener 100 animales y gastar 100 pesos.

 

 

Racionalización del Denominador


En ocasiones podemos encontrarnos con expresiones del tipo:

 

\frac{3}{\sqrt{2}}

 

En donde el denominador es un número irracional, el proceso mediante el cual convertimos el denominador en un número racional se llama racionalización del denominador para hacerlo multiplicamos numerador y denominador por el radical que se encuentra en el denominador:

 

\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}

 

Es un proceso en realidad simple, veamos otro caso:

 

\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}

 

La técnica que usamos al principio no nos sirve, pero podemos usar el conjugado de la expresión que tenemos en el denominador, recordemos que:

 

\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )=a^{2}-b^{2}

 

\left ( a+b \right ) es el conjugado de \left ( a-b \right ), si a y b son radicales entonces al multiplicar por su conjugado obtendremos números racionales puesto que a^{2} y b^{2} lo serían. El ejemplo queda:

 

\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{1\cdot \left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )}{\left ( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right )\left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )}

 

\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}

 

Lo que hemos hecho es multiplicar el numerador y denominador por el conjugado del denominador y simplificar.

Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas


Es relativamente fácil resolver ecuaciones lineales o de segundo grado usando operaciones básicas como suma,resta, división y multiplicación, cuando se nos pide resolver una ecuación en la que la incógnita aparece como exponente entonces necesitaremos hacer uso de logaritmos y sus propiedades además de las operaciones antes mencionadas, un ejemplo de ecuación exponencial es este:

 

2^{x-3}=3

 

¿Cómo resolvemos una ecuación de este tipo? Usando logaritmos, veamos:

 

log\; 2^{x-3}=log\; 3

 

Se ha tomado el logaritmo en ambas partes de la ecuación (la base del logaritmo puede ser cualquiera). Después utilizamos la propiedad "Logaritmo de una potencia" que es log_{b}\; M^{n}=n\; log_{b}\; M es decir:

 

log\; 2^{x-3}=log\; 3

 

\left ( x-3 \right )\; log\; 2=log\; 3

 

A partir de aquí se usan las mismas reglas que empleamos en las ecuaciones que conocemos:

 

x-3=\frac{log\; 3}{log\; 2}

 

x=\frac{log\; 3}{log\; 2}+3

 

Ahora un ejemplo de ecuaciones logarítmicas usando logaritmos vulgares:

 

\log_{10}\left ( x+3 \right )+\log_{10}x=1

 

Recordemos que \log_{10}N+\log_{10}M=\log_{10}NM entonces la ecuación logarítmica anterior es igual a:

 

\log_{10}\left [ x\left ( x+3 \right ) \right ]=1

 

Según lo visto en "Logaritmos" la definición de un logaritmo incluye: \log_{b}x=y  es equivalente a la expresión  x=b^{y}, usando esto en el problema se puede escribir la ecuación de esta nueva forma:

 

x\left ( x+3 \right )=10^{1}

 

x\left ( x+3 \right )-10=0

 

x^{2}+3x-10=0

 

El problema se ha reducido a encontrar las raíces de una ecuación cuadrática (vé cómo hacerlo aquí), las raíces son x=-5,2 por último recordemos que el logaritmo no está definido para números negativos, entonces la única solución es x=2

 

Ejercicios

 

35^{1-2x}=7

 

\log_{10}\left ( x-15 \right )=2-\log_{10}x

 

Soluciones

Ecuación de la Circunferencia que pasa por Tres Puntos


Sabemos que dados tres puntos no colineales (o que no estén sobre la misma recta) se puede dibujar una circunferencia que pase por ellos. Entonces es lógico poder obtener la ecuación de una circunferencia que pase por tres puntos sin necesidad de más datos, solo los tres puntos. Veamos cómo, la idea detrás del método es la siguiente: si un punto está sobre una circunferencia entonces debe cumplir la igualdad en la ecuación que representa dicha circunferencia, la forma general de una ecuación de la circunferencia es:

 

x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0

 

¿Cómo hacer que esta ecuación general pase a ser una ecuación específica o única? Si sustituimos los valores del primer punto en la ecuación entonces la igualdad debe cumplirse, si sustituimos los valores del segundo punto entonces debe cumplirse y así con el último punto. Haciendo esto se pueden encontrar valores específicos para las constantes D,E,F o lo que es lo mismo: encontraremos la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos.

 

Ejemplo

Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos \left ( -1,1 \right ) , \left ( 3,5 \right ) y \left ( 5,-3 \right )

 

circunferencia que pasa por tres puntos

 

Sustituimos los valores de los tres puntos en la ecuación general, para el primer punto tenemos:

 

1+1-D+E+F=0

D-E=2

 

Para el segundo punto:

 

9+25+3D+5E+F=0

3D+5E+F=-34

 

Para el tercer punto:

 

25+9+5D-3E+F=0

5D-3E+F=-34

 

Ahora ya tenemos tres ecuaciones nuevas:

 

D-E=2

3D+5E+F=-34

5D-3E+F=-34

 

Las soluciones a este sistema de ecuaciones (puedes ver cómo se soluciona un sistema de ecuaciones aquí) son:

 

D=-\frac{32}{5}

E=-\frac{8}{5}

F=-\frac{34}{5}

 

Sustituyendo estos valores en la ecuación general encontramos la ecuación específica para la circunferencia que pasa por los tres puntos dados, esto es:

 

x^{2}+y^{2}-\frac{32}{5}x-\frac{8}{5}y-\frac{34}{5}=0

 

Se vé mejor si la multiplicamos por 5 :

 

5x^{2}+5y^{2}-32x-8y-34=0

 

Así termina el problema aunque aún se pueden hacer varias cosas como pasar a la ecuación ordinaria de la circunferencia u obtener el centro y el radio (encuentras cómo hacerlo aquí).

 

Pasar de la Forma General a la Forma Ordinaria de la Circunferencia


Existen ventajas a la hora de escribir la ecuación de una circunferencia de la forma general u ordinaria, dependiendo del problema podemos utilizar una u otra, ya se ha visto como pasar de la forma ordinaria a la forma general (aquí) ahora veremos cómo pasar de la forma general a la forma ordinaria. La forma general se vé así:

 

x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0

 

La ecuación anterior representa una circunferencia sólo si D^{2}+E^{2}-4F>0 (si el valor fuera cero entonces representaría un círculo de radio cero, en caso de que el valor fuera menor a cero tendríamos un círculo imaginario). Las coordenadas del centro de dicha circunferencia son:

 

\left ( -\frac{D}{2},-\frac{E}{2} \right )

 

Y el radio viene dado por la fórmula:

 

\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}

 

Veamos un ejemplo, pasar de la forma general a la forma ordinaria la siguiente ecuación:

 

x^{2}+y^{2}+3x-4y+5=0

 

Primero identificamos los valores para D,E,F:

 

D=3

 

E=-4

 

F=5

 

Puesto que D^{2}+E^{2}-4F=9+16-20 es mayor que cero entonces la ecuación sí representa una circunferencia en el plano real, su centro es \left ( -\frac{3}{2},2 \right ) y el radio:

 

\frac{1}{2}\sqrt{\left ( 3 \right )^{2}+\left ( -4 \right )^{2}-4\left ( 5 \right )}

 

\frac{1}{2}\sqrt{9+16-20}=\frac{\sqrt{5}}{2}

 

Por lo tanto la ecuación en su forma ordinaria es:

 

\left ( x+\frac{3}{2} \right )^{2}+\left ( y-2 \right )^{2}=\frac{5}{4}

 

Aunque estas fórmulas funcionan algo más instructivo es usar la técnica de completar el cuadrado (aquí) para hacer el proceso inverso al desarrollo de un binomio al cuadrado y por lo tanto pasar de la forma general a la forma ordinaria.

Forma General de la Ecuación de la Circunferencia

Ya se ha hablado que la circunferencia (aquí) en geometría analítica es representada por la ecuación:

 

\left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}

 

Si desarrollamos ambos binomios y trasladamos todas las variables a el lado izquierdo de la igualdad llegamos a lo que se conoce como forma general de la ecuación de la circunferencia, esto es:

 

x^{2}+y^{2}-2xh-2ky+h^{2}+k^{2}-r^{2}=0

 

Puesto que h,k,r son constantes la ecuación anterior se puede reescribir como:

 

x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0

 

Donde:

 

D=-2h

 

E=-2k

 

F=h^{2}+k^{2}-r^{2}

 

Toda circunferencia puede representarse con la ecuación \left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2} entonces cualquier circunferencia puede escribirse de la forma general puesto que el desarrollo de los binomios no altera la igualdad. Ejemplo: expresa la ecuación de la circunferencia en su forma general cuyo centro es el punto \left ( 3,1 \right ) y radio 2. Primero representamos la circunferencia usando la forma ordinaria:

 

\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=2^{2}

 

\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=4

 

Después desarrollamos ambos binomios y agrupamos términos del lado izquierdo:

 

x^{2}-6x+9+y^{2}-2y+1-4=0

 

x^{2}+y^{2}-6x-2y+6=0

 

Con eso se da por terminado el proceso. Se observa los valores de las siguientes constantes:

 

D=-6

 

E=-2

 

F=6

 

Ejercicios

 

Escribir en su forma general las siguientes circunferencias:

 

x^{2}+y^{2}=1

 

\left ( x-1 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=\frac{1}{4}

 

\left ( x-a \right )^{2}+\left ( y-b \right )^{2}=\left ( b-1 \right )^{2}

 

Soluciones

Ecuación de la Circunferencia Ejemplos

En la entrada anterior "Ecuación de la Circunferencia" vimos la ecuación que describe una circunferencia en el plano cuyo centro es el punto \left ( h,k \right ) y radio r, esta ecuación es:

 

\left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}

 

Usando la ecuación anterior ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con radio \frac{1}{2} y centro en \left ( -3,1 \right )? Sustituyendo:

 

\left ( x-\left ( -3 \right ) \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}

 

\left ( x+3 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=\frac{1}{4}

 

Encuentra la ecuación de la circunferencia de los siguientes centros y radios:

 

Centro \left ( 0,0 \right ) y radio 1

 

Centro \left ( 3,-2 \right ) y radio 3

 

Centro \left ( 1,1 \right ) y radio \frac{1}{2}

 

Centro \left ( a,b \right ) y radio b-1

 

Soluciones

 

Distancia de una Recta a un Punto Ejemplos

Encuentra la distancia de la recta con ecuación general 4x+2y-5=0 al punto \left ( 3,1 \right ), para resolver el ejercicio hay que usar la fórmula vista en la entrada "Distancia de una recta a un punto" que es:

 

d=\frac{\left | Ax_{1}+By_{1}+C \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}

 

Sustituimos los valores de la recta y el punto en esta fórmula:

 

d=\frac{\left | 4\cdot 3+2\cdot 1-5 \right |}{\sqrt{4^{2}+2^{2}}}

 

d=\frac{\left | 12+2-5 \right |}{\sqrt{16+4}}

 

d=\frac{\left | 9 \right |}{\sqrt{20}}=\frac{9}{2\sqrt{5}}=\frac{9\sqrt{5}}{10}

 

Ya hechas las operaciones y racionalizado el denominador encontramos la distancia del punto a la recta, en nuestro ejemplo este valor es \frac{9\sqrt{5}}{10}. Otro ejemplo más, ¿Cuál es la distancia de la recta 5x-3y+2 al punto \left ( 2,1 \right )? Usemos la fórmula para saber el resultado, sustituyendo valores tenemos:

 

d=\frac{\left | 5\cdot 2-3\cdot 1+2 \right |}{\sqrt{5^{2}+\left ( -3 \right )^{2}}}

 

d=\frac{\left | 10-3+2 \right |}{\sqrt{25+9}}

 

d=\frac{\left | 9 \right |}{\sqrt{34}}=\frac{9\sqrt{34}}{34}

 

Una vez más se ha racionalizado el denominador y la distancia de la recta al punto es \frac{9\sqrt{34}}{34}.

 

 

Distancia de una Recta a un Punto


A veces es necesario conocer la distancia entre una recta y un punto dado, para ello primero es necesario tener la ecuación de la recta en su forma general (puedes ver como se hace aquí). La distancia de la recta Ax+By+C=0 al punto P_{1}\left ( x_{1},y_{1} \right ) viene dada por la fórmula:

 

d=\frac{\left | Ax_{1}+By_{1}+C \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}

 

Ejemplo: encuentra la distancia de la recta  3x-4y+12=0 al origen es decir \left ( 0,0 \right ), sustituyendo en la fórmula anterior da:

 

d=\frac{\left | 3\cdot 0-4\cdot 0+12 \right |}{\sqrt{3^{2}+\left ( -4 \right )^{2}}}

 

d=\frac{12}{\sqrt{25}}

 

d=\frac{12}{5}

 

La distancia del origen a la recta 3x-4y+12=0 es \frac{12}{5} , recalcamos que la ecuación de la recta debe estar en su forma general.

 

 

 

 

 

Forma General de la Ecuación de una Recta


Sabemos que para conocer la ecuación de una recta necesitamos saber un punto que esté en ella y la pendiente, otra forma es tener dos puntos que pasen por la misma recta, las explicaciones de como hacer esto puedes encontrarlas aquí y aquí respectivamente. Existe algo llamado forma general de la ecuación de la recta, simplemente es expresar la ecuación de la recta en el siguiente formato:

 

Ax+By+C=0

 

En esta ecuación lineal A o B son diferentes de cero. Supongamos que queremos poner la ecuación de la recta en su forma general de la recta que pasa por el punto \left ( 3,8 \right ) y cuya pendiente es 1, entonces usando la fórmula y-y_{1}=m\left ( x-x_{1} \right ) llegamos a:

 

y=x+5

 

Y la forma general de esta recta es:

 

-x+y-5=0

 

Donde A=-1 , B=1 y C=-5.