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Coordenadas Polares


El sistema de coordenadas polares sirve para representar cualquier punto en el plano, un punto queda
totalmente determinado cuando se conocen dos magnitudes, la primera es la longitud del origen a un punto determinado y se representa por r y la segunda es el ángulo que se forma entre el eje x y el segmento del origen al punto, observa la siguiente imagen:

 

coordenadas polares

 

El punto P en el plano queda definido por la distancia r  del origen al punto y el ángulo \theta que se forma entre el eje x y el segmento \overline{OP} siendo O el origen. La representación de puntos en coordenadas polares se escribe entre paréntesis anotando primero el radio vector (r) y después el argumento (\theta ), el argumento o ángulo polar puede expresarse en grados sexagesimales o radianes.

 

Ecuación de la Circunferencia


La ecuación de la circunferencia queda definida sabiendo las coordenadas de su centro y la longitud de su radio, sean \left ( h,k \right ) las coordenadas de su centro y r su radio, la ecuación de la circunferencia es:

 

\left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}

 

Es fácil notar que cuando el centro coincide con el origen \left ( 0,0 \right ) entonces la ecuación de la circunferencia toma la forma:

 

x^{2}+y^{2}=r^{2}

 

 

donde r es la longitud del radio. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 3 ?

 

ecuacion circunferencia

 

Según la fórmula del principio:

 

x^{2}+y^{2}=9

 

Cualquier par de coordenadas que satisfagan la ecuación es parte de la circunferencia, en la figura podemos notar el punto B\left ( 3,0 \right ) que es parte de la circunferencia y debe cumplir la ecuación:

 

3^{2}+0^{2}=9

 

Claramente cumple la igualdad. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro \left ( 3,2 \right ) y radio 1? Usando la ecuación dada al inicio:

 

\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y-2 \right )^{2}=1

 

De nuevo cualquier punto cuyas coordenadas cumplan la igualdad forma parte de la circunferencia.

 

 

Ecuación de la Recta que pasa por Dos Puntos


La ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P_{1}\left ( x_{1},y_{1} \right ) y P_{2}\left (x_{2},y_{2} \right ) es:

 

y-y_{1}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\left ( x-x_{1} \right )

 

Es fácil de entender si tenemos en cuenta la definición de pendiente y la ecuación de la recta punto-pendiente, entonces dados dos puntos es suficiente para saber la ecuación de una recta, hay que señalar que x_{1}\neq x_{2} para que la ecuación tenga sentido. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos A\left ( 2,1 \right ) y B\left ( 8,5 \right )?

 

ecuacion de la recta dos puntos

 

Según la fórmula:

 

y-1=\frac{5-1}{8-2}\left ( x-2 \right )

 

y-1=\frac{2}{3}\left ( x-2 \right )

 

y-1=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}

 

y=\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}  

 

 

Ecuación de la Recta Punto-Pendiente


La ecuación de una recta que pasa por un punto dado  P_{1}\left ( x_{1},y_{1} \right ) y pendiente m se escribe de la forma siguiente:

 

y-y_{1}=m\left ( x-x_{1} \right )

 

Ejemplo, ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto \left ( 3,8 \right ) y tiene pendiente m=1?

 

y-8=1\cdot \left ( x-3 \right )

 

y=x-3+8

 

y=x+5  

 

Por ecuación de la recta entendemos una forma práctica de representar todo par de puntos que forman parte de una recta específica, esto se logra con una ecuación, los pares de valores x,y que cumplan con la igualdad entonces forman parte de la recta, los que no cumplan la ecuación no forman parte de ella. Es obvio que el punto \left ( 3,8 \right ) forma parte de la recta pues se dijo en el enunciado, entonces debería cumplir con la ecuación, veamos:

 

8=3+5

 

Cumple la ecuación, significa que es parte de la recta.

 

Pendiente de Rectas Paralelas y Perpendiculares entre sí


En la entrada "Pendiente de una Recta" se analizó la definición de el ángulo de inclinación y la pendiente de una recta, ahora veremos las condiciones necesarias y suficientes para que dos rectas sean paralelas o perpendiculares entre ellas. Para que dos líneas con pendientes m_{1} y m_{2} sean paralelas basta con que:

 

m_{1}=m_{2}

 

es decir tengan pendientes iguales. Para que dos líneas con pendientes m_{1} y m_{2} sean perpendiculares entonces se necesita que:

 

m_{1}m_{2}=-1

 

En otras palabras que el producto de las pendientes sea igual a menos uno.

 

Pendiente de una Recta


En geometría analítica entendemos por pendiente de una recta a la tangente del ángulo de inclinación entre el eje positivo x y la recta misma, suponiendo que \alpha representa el ángulo de inclinación entonces la pendiente viene dada por la fórmula:

 

m=tg\; \alpha

 

La pendiente de una recta también puede conocerse si sabemos dos puntos que forman parte de ella, la fórmula es la siguiente:

 

m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}

 

Como dijimos los dos puntos  P_{1}\left ( x_{1},y_{1} \right ) y P_{2}\left ( x_{2},y_{2} \right ) deben ser diferentes y estar sobre la misma recta. Ejemplo, calcula la pendiente de la siguiente recta:

 

pendiente de la recta

 

Los puntos A\left ( 2,1 \right ) y B\left ( 8,5 \right ) forman parte de la recta, entonces usamos la segunda fórmula para saber la pendiente de la recta que pasa por dichos puntos:

 

m=\frac{5-1}{8-2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}

 

La pendiente de la recta se representa por lo general con la letra m y en nuestro ejemplo tiene el valor \frac{2}{3}

 

Ejercicios

Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los siguientes pares de puntos

\left ( 3,1 \right )  y  \left ( 4,3 \right )

 

\left ( 0,0 \right )  y  \left ( 3,5 \right )

 

\left ( -1,0 \right )  y  \left ( -3,4 \right )

 

Soluciones

Punto Medio de un Segmento


Encontrar el punto medio de un segmento de recta que tiene como extremos los puntos A\left ( x_{1},y_{1} \right ) y B\left ( x_{2},y_{2} \right ) es muy simple, llamemos al punto medio M sus coordenadas son:

 

x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}

 

y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}

 

Con un ejemplo se entiende mejor, observa la siguiente imagen:

 

punto medio

 

Hay dos puntos en el plano A\left ( 10,5 \right ) y B\left ( 2,2 \right ) para encontrar el punto medio M usamos la fórmula:

 

x=\frac{10+2}{2}=6

 

y=\frac{5+2}{2}=\frac{7}{2}

 

Las coordenadas del punto M son \left ( 6,\frac{7}{2} \right ), visto en el plano nos queda:

 

punto medio formula ejemplo

 

Es conveniente recordar la fórmula del punto medio de un segmento pues es muy utilizada para diferentes problemas de geometría analítica, hay que decir que la fórmula es muy sencilla. En algunos casos es necesario dividir un segmento por una razón dada diferente a 1:1 entonces usaremos la siguiente fórmula:

 

x=\frac{x_{1}+x_{2}}{1+r}

 

y=\frac{y_{1}+y_{2}}{1+r}

 

Siendo r la razón y r\neq 0.

 

Ejercicios

Encuentra el punto medio del segmento definido por los puntos:

\left ( 3,1 \right )  y  \left ( 4,3 \right )

 

\left ( 0,0 \right )  y  \left ( 3,5 \right )

 

\left ( -1,0 \right )  y  \left ( -3,4 \right )

 

Soluciones

Distancia entre Dos Puntos Ejemplos


A continuación se presentan dos ejercicios para resolver utilizando la fórmula vista en "Distancia entre dos puntos", observa la siguiente imagen:

 

distancia entre dos puntos

 

¿Cuál es la distancia entre el punto A y el punto B?

Las coordenadas del punto A son \left ( 8,2 \right ) y B\left ( 1,1 \right ) usamos la fórmula de la distancia y tenemos:

 

\overline{AB}=\sqrt{\left ( 8-1 \right )^{2}+\left ( 2-1 \right )^{2}}

 

\overline{AB}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}

 

\overline{AB}=5\sqrt{2}

 

La distancia es 5\sqrt{2}

 

 

 

Un triángulo está dado por los siguientes tres puntos A\left ( 3,5 \right )B\left ( 2,2 \right )C\left ( 6,2 \right ) ¿Cuál es su perímetro?

 

ejercicio distancia dos puntos

 

Sabemos que el perímetro es igual a la suma de los lados, entonces encontraremos la distancia entre cada dos puntos y la sumamos, primero:

 

\overline{AB}=\sqrt{\left ( 3-2 \right )^{2}+\left ( 5-2 \right )^{2}}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}

 

\overline{BC}=\sqrt{\left ( 2-6 \right )^{2}+\left ( 2-2 \right )^{2}}=\sqrt{16+0}=4

 

\overline{CA}=\sqrt{\left ( 6-3 \right )^{2}+\left ( 2-5 \right )^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}

 

Por lo tanto el perímetro del triángulo con vértices A , B y C es \sqrt{10}+4+3\sqrt{2}\approx 11.4049

 

Ejercicios

Encuentra la distancia entre los siguientes pares de puntos:

 

\left ( 3,1 \right )  y  \left ( 4,3 \right )

 

\left ( 0,0 \right )  y  \left ( 3,5 \right )

 

\left ( -1,0 \right )  y  \left ( -3,4 \right )

 

Soluciones

Distancia entre Dos Puntos


Una de las cosas más elementales en geometría analítica es determinar la distancia que existe entre dos puntos dados,  observa la siguiente imagen del plano cartesiano:

 

distancia dos puntos formula

 

Pueden verse dos puntos P_{1} y P_{2} las coordenadas son P_{1}\left ( 2,3 \right ) y P_{2}\left ( 6,1 \right ) también notamos que usando el teorema de pitágoras podríamos averiguar la distancia entre ambos, solo se toma \overline{P_{1}P_{2}} como hipotenusa y trazando dos lineas auxiliares nos queda la figura:

 

 

Se ha puesto el punto A\left ( 2,1 \right ) y si usamos el teorema de pitágoras tenemos:

 

\overline{P_{1}A}=  es igual a la diferencia entre las ordenadas de los puntos (3-1)

 

\overline{AP_{2}}=  es igual a la diferencia entre las abscisas de los puntos (6-2)

 

Luego:

 

\overline{P_{1}A}=2

 

\overline{AP_{2}}=4

 

d^{2}=2^{2}+4^{2}=4+16

 

d^{2}=20

 

d=\sqrt{20}

 

De forma general la distancia entre dos puntos dados P_{1}\left ( x_{1},y_{1} \right ) y P_{2}\left ( x_{2},y_{2} \right ) se obtiene de la fórmula:

 

d=\sqrt{\left ( x_{1}-x_{2} \right )+\left ( y_{1}-y_{2} \right )}

 

Propiedades de los Logaritmos Resúmen


En entradas anteriores se han explicado algunas de las propiedades más interesantes de los logaritmos, a continuación te ofrecemos un resúmen de ellas:

 

 

log \boldsymbol{MN}= log \boldsymbol{M}+ log \boldsymbol{N}

 

log \frac{\mathbf{M}}{\mathbf{N}}= log \mathbf{M}- log  \mathbf{N}

 

log \mathbf{M}^{n}=n log \mathbf{M}

 

log\; \sqrt[n]{\mathbf{M}}=\frac{log\; \mathbf{M}}{n}

 

En las siguientes entradas puedes encontrar ejemplos sobre cada propiedad así como su definición:

 

Logaritmo de un Producto

 

Logaritmo de un Cociente

 

Logaritmo de una Potencia

 

Logaritmo de una Raíz