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Eliminación Gaussiana


La eliminación Gaussiana es un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales basado en matrices, tomemos como ejemplo el siguiente sistema:

 

1x_{1}+4x_{2}-1x_{3}=6

2x_{1}+5x_{2}-7x_{3}=-9

3x_{1}-2x_{2}+1x_{3}=2

 

Este sistema puede expresarse como una matriz aumentada en la que solo pondremos los coeficientes y la parte derecha del sistema usando un separador | queda:

 

\begin{pmatrix}1 &4 &-1 &| &6 \\ 2 &5 &-7 &| &-9 \\ 3 &-2 &1 &| &2 \end{pmatrix}

 

Para resolver el sistema usaremos las siguientes reglas:

 

  • Multiplicar o dividir una fila o renglón por un número distinto de cero.
  • Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
  • Intercambiar dos renglones.

(En la entrada Eliminación Gauss-Jordan se muestran ejemplos sencillos de cómo se realizan estas operaciones)

 

Estas reglas pueden expresarse usando esta notación:

 

R_{i}\rightarrow cR_{i} nos indica que el renglón i se sustituye por él mismo multiplicado por c.

 

R_{j}\rightarrow R_{j}+cR_{i} quiere decir que el renglón j se sustituye por el resultado de sumar el

renglón j más el renglón i multiplicado por c.

 

R_{i}\rightleftharpoons R_{j} sirve para decir que los renglones j e i intercambian posiciones.

 

Ahora resolvamos el sistema usando la eliminación Gaussiana, el primer paso es hacer el coeficiente de x_{1} igual a uno en el primer renglón, pero como en este ejemplo ya es 1 pasemos adelante, el objetivo es hacer cero los coeficientes de la primera incógnita en los renglones 2 y 3, así que hacemos:

 

\begin{pmatrix}1 &4 &-1 &| &6 \\ 2 &5 &-7 &| &-9 \\ 3 &-2 &1 &| &2 \end{pmatrix}R_{2}\rightarrow R_{2}-2R_{1}\begin{pmatrix}1 &4 &-1 &| &6 \\ 0 &-3 &-5 &| &-21 \\ 3 &-2 &1 &| &2 \end{pmatrix}

 

Y para lograr tener cero en el coeficiente de x_{1} en el tercer renglón operamos así:

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Eliminación Gauss-Jordan II


En la entrada "Eliminación Gauss-Jordan" se mostró un ejemplo que explicaba cómo resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas usando una matriz aumentada y el método de eliminación de Gauss-Jordan, además se mencionaron las operaciones que pueden hacerse con los renglones en una matriz aumentada, que son los siguientes:

 

  • Multiplicar o dividir una fila o renglón por un número distinto de cero.
  • Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
  • Intercambiar dos renglones.

 

Ahora introduciremos la siguiente notación que describe las operaciones anteriores:

 

R_{i}\rightarrow cR_{i} nos indica que el renglón i se sustituye por él mismo multiplicado por c.

 

R_{j}\rightarrow R_{j}+cR_{i} quiere decir que el renglón j se sustituye por el resultado de sumar el renglón j más el renglón i multiplicado por c.

 

R_{i}\rightleftharpoons R_{j} sirve para decir que los renglones j e i intercambian posiciones.

 

Usemos la nueva notación y el método de eliminación Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

 

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Eliminación Gauss-Jordan


Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones (uno de ellos aquí), veamos el método de eliminación Gauss-Jordan que incluye matrices.Tomemos como ejemplo el siguiente sistema:

 

7x+4y=13

5x-2y=19

 

Las soluciones del sistema son los valores x , y para los cuales se satisfacen ambas igualdades. Para usar el método de eliminación Gauss-Jordan escribiremos este sistema de la siguiente manera:

 

A=\begin{pmatrix}7 &4 &| &13 \\ 5 &-2 &| &19 \end{pmatrix}

 

A la que llamaremos matriz aumentada. Como vemos los coeficientes del sistema de ecuaciones han sido puestos como filas en la matriz  aumentada, incluimos además el resultado de la suma de las incógnitas poniendo un | como separador. Para resolver el sistema de ecuaciones deberíamos poder llegar a la siguiente matriz:

 

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Determinante de una matriz 3\times 3


El determinante de una matriz A de tamaño 3\times 3 se calcula de la siguiente forma:

 

 

A=\begin{pmatrix}a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{pmatrix}

 

\left |A\right |=a_{11}\left | \begin{matrix}a_{22} &a_{23} \\ a_{32} &a_{33} \end{matrix} \right |-a_{12}\left | \begin{matrix}a_{21} &a_{23} \\ a_{31} &a_{33} \end{matrix} \right |+a_{13}\left | \begin{matrix}a_{21} &a_{22} \\ a_{31} &a_{32} \end{matrix} \right |

 

Como lo hemos mencionado antes las barras verticales indican el cálculo de determinantes, entonces notamos que para calcular el determinante de una matriz de tamaño 3\times 3 es necesario calcular otros determinantes de matrices de tamaño 2\times 2 (Determinante de una matriz 2\times 2). Ejemplo:

 

A=\begin{pmatrix}3 &5 &2 \\ 4 &2 &3 \\ -1 &2 &4 \end{pmatrix}

 

\left | A \right |=3\left |\begin{matrix}2 &3 \\ 2 &4 \end{matrix} \right |-5\left |\begin{matrix}4 &3 \\ -1 &4 \end{matrix} \right |+2\left |\begin{matrix}4 &2 \\ -1 &2 \end{matrix} \right |

 

\left | A \right |=3\cdot 2-5\cdot 19+2\cdot 10=-69

 

 

Determinante de una matriz 2\times 2


El determinante de una matriz A suele escribirse det A, además tenemos la notación siguiente:

 

A=\begin{pmatrix}a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \end{pmatrix}

 

det A=\left |A \right |=\left |\begin{pmatrix}a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \end{pmatrix} \right |

 

Las barras verticales en esta ocasión indican el determinante de una matriz no el valor absoluto de ella. El determinante de una matriz de tamaño 2\times 2 se define como sigue:

 

\left |A \right |=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}

 

Ejemplo:

 

\left |\begin{pmatrix}3 &-1 \\ 2 & 5\end{pmatrix} \right |=3\cdot 5-\left ( -1 \right )\cdot 2=15+2=17

 

 

 

Multiplicación de Matrices (Ejemplos)


El proceso para multiplicar matrices se expuso en la entrada "Multiplicación de Matrices", a continuación algunos ejercicios resueltos:

 

\begin{pmatrix}-2 & 3 & 0\\ 4 & 1 & 7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 &2 \\ -1 & 5\\ 9 & 4\end{pmatrix}

 

Lo primero que haremos será ver si las matrices pueden multiplicarse, la primera matriz es de tamaño 2\times 3 y la segunda 3\times 2, el número de columnas de la primera matriz es igual al número de renglones de la segunda matriz por lo tanto pueden multiplicarse, como resultado tendremos una matriz C de tamaño 2\times 2:

 

C=\begin{pmatrix}c_{11} &c_{12} \\ c_{21} &c_{22} \end{pmatrix}

 

c_{11}=-2\cdot 0+3\cdot \left ( -1 \right )+0\cdot 9=0-3+0=-3

 

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Transpuesta de una matriz


La matriz transpuesta de una matriz A con componentes a_{ij} es una matriz a la que llamaremos A^{t} cuyas componentes son a_{ji}, lo que significa que el renglón i de la matriz A es la columna i en la matriz A^{t} y la columna j en A es la fila j en A^{t}. Ejemplo:

 

A=\begin{pmatrix}1 &3 &5 \\ 0 &-2 &4 \end{pmatrix}

 

A^{t}=\begin{pmatrix}1 &0 \\ 3 &-2 \\ 5 &4 \end{pmatrix}

 

Como vemos el renglón uno de la matriz A es ahora la columna 1 de A^{t} y el renglón 2 de A se convierte en la segunda columna de A^{t}.

 

 

Multiplicación de Matrices


La multiplicación de matrices es algo parecido a lo visto en "Producto Escalar de dos Vectores" sin embargo el resultado no será un escalar, más bien será una matriz. Suponiendo que tenemos dos matrices, una matriz A de tamaño m\times n y una matriz B de tamaño n\times p al multiplicarlas nos quedara una matriz C de tamaño m\times p cuyas componentes vienen dadas por:

 

c_{ij}= Producto escalar del renglón i de la matriz A y la columna j de la matriz B

 

Para que dos matrices puedan multiplicarse entre ellas es necesario que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de renglones de la segunda matriz. Además puede ser posible que A\cdot B\neq B\cdot A es decir la ley conmutativa no se cumple en la multiplicación  de matrices. Ejemplo de multiplicación de dos matrices de tamaño 2\times 2:

 

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¿Cómo Calcular la Inversa de una Matriz 2\times 2?


En el post "Inversa de una Matriz Cuadrada" se estableció que no todas las matrices tienen inversa, por lo tanto la primera pregunta que hay que responder es ¿Qué matrices son invertibles? Para responder esta pregunta introduciremos el concepto de determinante.

 

Determinante

En una matriz A de tamaño 2\times 2 se llama  determinante de A (det A) al resultado de la operación a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} esto es:

 

det A=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}

 

Ejemplo:

 

A=\begin{pmatrix}2 &-1 \\ 3 & 0\end{pmatrix}

 

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Inversa de una Matriz Cuadrada


En la entrada "Matriz Identidad" se expuso el concepto de la matriz I_{n}, ahora veremos qué es la inversa de una matriz, suponiendo que tenemos una matriz A de tamaño n\times n su inversa se representa por A^{-1} es de tamaño n\times n y cumple con la característica que el producto AA^{-1} es igual a la matriz identidad I_{n} esto es:

 

AA^{-1}=I_{n}

 

Hay varias cosas a notar con la matriz inversa, primero no todas las matrices tienen inversa (en caso de tenerla se dirá que esa matriz es invertible), segundo la inversa de una matriz es única. Ejemplos:

 

A=\begin{pmatrix}5 &6 \\ 5 & 5\end{pmatrix}

 

A^{-1}=\begin{pmatrix}-1 &\frac{6}{5} \\ 1 & -1\end{pmatrix}

 

AA^{-1}=I_{2}=\begin{pmatrix}1 &0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}

 

Visto esto al menos existen dos preguntas, ¿Cómo saber si una matriz es invertible? y si es invertible ¿Cómo se calcula?