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Matriz Identidad


La matriz identidad es una matriz cuadrada cuyas componentes en la diagonal principal son todas 1 y las demás componentes tienen el valor 0, la matriz identidad se representa así I. Una matriz de 2\times 2 cuyos elementos de su diagonal principal son 1 y los demás cero se llama I_{2}:

 

I_{2}=\begin{pmatrix}1 &0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}

 

En general la matriz identidad I_{n} es una matriz cuadrada de tamaño n\times n que cumple con las condiciones mencionadas antes. Ejemplos de matriz identidad:

 

I_{3}=\begin{pmatrix}1 &0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}

 

I_{4}=\begin{pmatrix}1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}

 

Una característica de la Matriz Identidad es que al multiplicarla por otra matriz esta última permanece igual, es decir:

 

AI=IA=A

 

Es un concepto como el número uno en la multiplicación en aritmética (1\cdot a=a\cdot 1=a).

 

 

Producto Escalar de Dos Vectores


El producto escalar de dos vectores da como resultado un escalar, para que pueda efectuarse el producto escalar es necesario que ambos vectores posean el mismo número de componentes, supongamos que  tenemos los vectores \mathbf{a} y \mathbf{b}:

 

\mathbf{a}=\begin{pmatrix}1 & 3 & 0 &-3 \end{pmatrix}

 

\mathbf{b}=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 3\\ -2\end{pmatrix}

 

Se puede hacer el producto escalar pues cada vector tiene cuatro componentes, el producto escalar se efectúa de la siguiente forma:

 

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Multiplicación de una matriz por un escalar


La multiplicación de una matriz por un escalar es una de las cosas más sencillas que hay, por un escalar nos referimos a un número, si tenemos la matriz A=\left ( a_{ij} \right ) y un escalar \alpha entonces la multiplicación quedaría:

 

\alpha A=\left ( \alpha a_{ij} \right )

 

Que es lo mismo que multiplicar cada componente de la matriz por el escalar. Ejemplo:

 

7\begin{pmatrix}1&5 &7 \\ -2& 4 &0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 &35 &49 \\ -14 &28 &0 \end{pmatrix}

 

El escalar puede ser cualquier número y el procedimiento es el mismo. Si el escalar fuera 0 es obvio que como resultado nos quedaría una matriz cero, además al multiplicar una matriz por un escalar nos queda una matriz del mismo tamaño que la inicial.

 

Ejercicios

 

\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4 &\frac{1}{2} \\ 7 &-3 \\ 0 &1 \end{pmatrix}

 

x\begin{pmatrix}3&-1 \\ x&x-1 \end{pmatrix}

 

x^{n}\begin{pmatrix}3&-1 \\ x&x-1 \end{pmatrix}

 

Soluciones

 

Suma de matrices


Para la suma de matrices es necesario que ambas tengan el mismo tamaño. Si tenemos una matriz A=\left ( a_{ij} \right ) y una matriz B=\left ( b_{ij} \right ) ambas de tamaño m\times n entonces la suma queda dada por:

 

A+B=\left ( a_{ij}+b_{ij} \right )

 

En otras palabras sumamos los números en posiciones iguales. Ejemplo de una suma de matrices:

 

A=\begin{pmatrix}2 &4 \\ 0 &1 \end{pmatrix}

 

B=\begin{pmatrix}1 &-3 \\ \frac{1}{2} &0 \end{pmatrix}

 

A+B=\begin{pmatrix}2+1 &4-3 \\ 0+\frac{1}{2} &1+0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 &1 \\ \frac{1}{2}&1 \end{pmatrix}

 

Como es de esperar hemos obtenido una matriz de igual tamaño que las iniciales es decir una matriz cuadrada de tamaño 2\times 2.

 

Ejercicios

 

\begin{pmatrix}4 &-1 \\ 8 & 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2 &5 \\ 7 & -13\end{pmatrix}

 

\begin{pmatrix}3 &0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 &1 \\ -4 & -5\end{pmatrix}

 

\begin{pmatrix}0 &1 &-1 \\ -1&1 &0 \\ 0 &1 &-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 &0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0 &0 &-1 \end{pmatrix}

 

Soluciones

 

Tipos Básicos de Matrices


Hay al menos tres tipos de matrices básicas, existen las matrices cuadradas, la matriz cero y la matriz de tamaño m\times n. Veamos sus características.

 

Matriz Cuadrada

La matriz cuadrada es aquella cuyo número de renglones es igual el número de columnas, entendido esto diremos que la matriz A de tamaño m\times n es cuadrada solo si m=n. Ejemplos:

 

A=\begin{pmatrix}1 &4 \\ 2&3 \end{pmatrix}

 

B=\begin{pmatrix}5 &4 &3 \\ 9 &-5 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix}

 

Las matrices A y B son cuadradas puesto que tienen el mismo número de renglones que de columnas, la matriz A es de tamaño 2\times 2 y la matriz B es de tamaño 3\times 3.

 

Matriz Cero

Diremos que la matriz cero es aquella en la cual todos sus elementos son iguales a 0, es decir donde a_{ij}=0 para todo i y j. Ejemplos de matrices cero:

 

\begin{pmatrix}0 &0 &0 \\ 0& 0& 0\end{pmatrix}

 

\begin{pmatrix}0 &0 \\ 0&0 \\ 0 &0 \end{pmatrix}

 

Matriz de tamaño m\times n

Una matriz de tamaño m\times n representa a aquella cuyo número de filas o renglones es igual a m y el número de columnas es n.Ejemplos:

 

\begin{pmatrix}0 &0 &0 \\ 0& 0& 0\end{pmatrix}  es una matriz de tamaño 2\times 3

 

\begin{pmatrix}5 &4 &3 \\ 9 &-5 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix} es una matriz de tamaño 3\times 3

Matrices


Las matrices al igual que los vectores son algo esencial en el álgebra lineal, podemos decir que una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en filas y columnas, entonces diremos que una matriz m\times n representa una matriz de m filas por n columnas:

 

\begin{pmatrix}a_{11} &a_{12} &a_{13} &... &a_{1n} \\ a_{21}&a_{22} &a_{23} &... &a_{2n} \\ .&. & . & ... & \\ a_{m1}&a_{m2} &a_{m3} &... &a_{mn} \end{pmatrix}

 

La forma expuesta arriba es como se representa una matriz, las matrices tal como los vectores tienen componentes, estas componentes o elementos se representan como sigue:

 

A=\left (a_{ij} \right )

 

La matriz llamada A tiene como componente a a_{ij} que denota al número que está en el renglón i y la columna j. Consideremos el siguiente ejemplo:

 

A=\begin{pmatrix}2 &3 \\ -5& 0\\ 1& 4\end{pmatrix}

 

En el ejemplo anterior diremos que la componente \left ( 2,2 \right ) de la matriz A es 0 puesto que éste número aparece en el segundo renglón y la segunda columna. Para que dos matrices sean iguales tienen que ser (1) de igual tamaño y (2) todas sus componentes correspondientes iguales.

Vectores

Los vectores se pueden definir como un conjunto ordenado de números, existen vectores renglón y vectores columna. La forma de escribir un vector renglón es la siguiente:

 

\left ( x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n} \right )

 

El vector anterior se le llama vector renglón y tiene n componentes. También existe el vector columna que se representa de la siguiente forma:

 

\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ .\\ .\\x_{n}\\\end{pmatrix}

 

El vector columna anterior tiene n componentes. Los vectores cuyas componentes sean todas 0 se les llama vector cero. Ejemplos:

 

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