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Racionalización del Denominador


En ocasiones podemos encontrarnos con expresiones del tipo:

 

\frac{3}{\sqrt{2}}

 

En donde el denominador es un número irracional, el proceso mediante el cual convertimos el denominador en un número racional se llama racionalización del denominador para hacerlo multiplicamos numerador y denominador por el radical que se encuentra en el denominador:

 

\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}

 

Es un proceso en realidad simple, veamos otro caso:

 

\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}

 

La técnica que usamos al principio no nos sirve, pero podemos usar el conjugado de la expresión que tenemos en el denominador, recordemos que:

 

\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )=a^{2}-b^{2}

 

\left ( a+b \right ) es el conjugado de \left ( a-b \right ), si a y b son radicales entonces al multiplicar por su conjugado obtendremos números racionales puesto que a^{2} y b^{2} lo serían. El ejemplo queda:

 

\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{1\cdot \left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )}{\left ( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right )\left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )}

 

\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}

 

Lo que hemos hecho es multiplicar el numerador y denominador por el conjugado del denominador y simplificar.

Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas


Es relativamente fácil resolver ecuaciones lineales o de segundo grado usando operaciones básicas como suma,resta, división y multiplicación, cuando se nos pide resolver una ecuación en la que la incógnita aparece como exponente entonces necesitaremos hacer uso de logaritmos y sus propiedades además de las operaciones antes mencionadas, un ejemplo de ecuación exponencial es este:

 

2^{x-3}=3

 

¿Cómo resolvemos una ecuación de este tipo? Usando logaritmos, veamos:

 

log\; 2^{x-3}=log\; 3

 

Se ha tomado el logaritmo en ambas partes de la ecuación (la base del logaritmo puede ser cualquiera). Después utilizamos la propiedad "Logaritmo de una potencia" que es log_{b}\; M^{n}=n\; log_{b}\; M es decir:

 

log\; 2^{x-3}=log\; 3

 

\left ( x-3 \right )\; log\; 2=log\; 3

 

A partir de aquí se usan las mismas reglas que empleamos en las ecuaciones que conocemos:

 

x-3=\frac{log\; 3}{log\; 2}

 

x=\frac{log\; 3}{log\; 2}+3

 

Ahora un ejemplo de ecuaciones logarítmicas usando logaritmos vulgares:

 

\log_{10}\left ( x+3 \right )+\log_{10}x=1

 

Recordemos que \log_{10}N+\log_{10}M=\log_{10}NM entonces la ecuación logarítmica anterior es igual a:

 

\log_{10}\left [ x\left ( x+3 \right ) \right ]=1

 

Según lo visto en "Logaritmos" la definición de un logaritmo incluye: \log_{b}x=y  es equivalente a la expresión  x=b^{y}, usando esto en el problema se puede escribir la ecuación de esta nueva forma:

 

x\left ( x+3 \right )=10^{1}

 

x\left ( x+3 \right )-10=0

 

x^{2}+3x-10=0

 

El problema se ha reducido a encontrar las raíces de una ecuación cuadrática (vé cómo hacerlo aquí), las raíces son x=-5,2 por último recordemos que el logaritmo no está definido para números negativos, entonces la única solución es x=2

 

Ejercicios

 

35^{1-2x}=7

 

\log_{10}\left ( x-15 \right )=2-\log_{10}x

 

Soluciones

Propiedades de los Logaritmos Resúmen


En entradas anteriores se han explicado algunas de las propiedades más interesantes de los logaritmos, a continuación te ofrecemos un resúmen de ellas:

 

 

log \boldsymbol{MN}= log \boldsymbol{M}+ log \boldsymbol{N}

 

log \frac{\mathbf{M}}{\mathbf{N}}= log \mathbf{M}- log  \mathbf{N}

 

log \mathbf{M}^{n}=n log \mathbf{M}

 

log\; \sqrt[n]{\mathbf{M}}=\frac{log\; \mathbf{M}}{n}

 

En las siguientes entradas puedes encontrar ejemplos sobre cada propiedad así como su definición:

 

Logaritmo de un Producto

 

Logaritmo de un Cociente

 

Logaritmo de una Potencia

 

Logaritmo de una Raíz

 

Logaritmo de una Raíz


Al efectuar operaciones con logaritmos existen propiedades que en algún momento nos resultan útiles para resolver un determinado problema, el logaritmo de una raíz cumple la siguiente igualdad:

 

log\; \sqrt[n]{\mathbf{M}}=\frac{log\; \mathbf{M}}{n}

 

Esta propiedad de los logaritmos se enuncia de la siguiente forma:

 

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz.

 

Ejemplos utilizando logaritmos naturales se muestran a continuación:

 

ln\; \sqrt[3]{8}=\frac{ln\; 8}{3}

 

ln\; \sqrt[5]{4.5}=\frac{ln\; 4.5}{5}

 

ln\; \sqrt[7]{x^5}=\frac{ln\; x^5}{7}

 

Logaritmo de una Potencia


El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base.

 

Así se enuncia esta propiedad que tienen los logaritmos, cuando hacemos operaciones sobre logaritmos de una potencia se cumple:

 

log \mathbf{M}^{n}=n log \mathbf{M}

 

Ejemplos usando logaritmos naturales:

 

ln 3^{x}=x ln 3

 

ln z^{2}=2 ln z

 

ln \left ( a+b \right )^{2}=2 ln \left ( a+b \right )

 

Logaritmo de un Cociente


Al hacer cálculos con logaritmos que incluyen cocientes se cumple lo siguiente:

 

log \frac{\mathbf{M}}{\mathbf{N}}= log \mathbf{M}- log  \mathbf{N}

 

Que puede enunciarse de la siguiente manera:

 

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

 

Esta propiedad de los logaritmos es frecuentemente utilizada al resolver ecuaciones logarítmicas, en cálculo diferencial o cálculo integral. Ejemplos usando logaritmos naturales:

 

ln \frac{3}{7}= ln 3- ln 7

 

ln \frac{7x}{2}= ln 7x- ln 2

 

ln \frac{a}{5b}= ln a- ln 5b

 

 

 

Logaritmos Vulgares o de Briggs


La definición de logaritmo puedes encontrarla en esta entrada "Logaritmos" se explica que es necesario tener una base para los logaritmos, cuando la base de un logaritmo es 10 entonces se llama logaritmo vulgar o de Briggs. Encontrar el logaritmo vulgar de un número se reduce a encontrar el exponente al cual hay que elevar el 10 que dé como resultado dicho número. Ejemplo:

 

Log 10=1

 

El logaritmo vulgar de 10 es uno puesto que:

 

10^{1}=10

 

El cálculo de logaritmos sean vulgares o naturales se ha simplificado mucho con el uso de las calculadoras.

 

Logaritmos Naturales o Neperianos


Se ha dicho la definición de logaritmo en la entrada anterior "Logaritmos", entre otras cosas la entrada definía la base de los logaritmos y mostró que cualquier número puede servir de base para los logaritmos, el sistema de logaritmos naturales usa como base el número e que sabemos representa a:

 

e\approx 2.718281

 

Entonces el logaritmo natural de 5 es el exponente al que hay que elevar la base e para obtener 5, es:

 

ln 5\approx 1.6094

 

Y el ln de e es igual a 1.

 

Ejercicios

Encuentra el logaritmo natural de los siguientes números:

 

ln 1

 

ln 7

 

ln e^{2}

 

Soluciones

Logaritmos


Para dar la definición de logaritmo primero observa a las siguientes igualdades:

 

3^{0}=1
3^{1}=3
3^{2}=9
3^{3}=27

 

El logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar otro número que se llama base para obtener el número dado. Si analizamos las igualdades anteriores podemos fijar el número 3 como base, entonces diremos que el logaritmo de 1 en base 3 es cero, esto puesto que tenemos que elevar a la cero la base para obtener el número 1, con esta idea en mente entonces decimos que logaritmo de 9 en base 3 es dos pues tenemos que elevar al cuadrado la base 3 para que nos de como resultado 9, etc. La notación que se usa para logaritmo es log. Como base puede usarse cualquier número. Resumiendo con un par de ecuaciones:

 

y=\log_{b}x  es equivalente a la expresión  x=b^{y}  siendo b>0 y b\neq 1

 

El logaritmo de base b de x es la potencia y a la cual se debe elevar b para ser igual a x.

 

Fracciones Equivalentes


Dos fracciones son equivalentes cuando la segunda se obtiene multiplicando el numerador y denominador de la primera por un mismo número, por ejemplo la fracción \frac{1}{2} es equivalente a \frac{2}{4} puesto que:

 

\frac{2}{4}=\frac{2}{2}\left ( \frac{1}{2} \right )

 

La igualdad de arriba nos muestra claramente el significado de equivalencia, la parte derecha sigue siendo \frac{1}{2} pero expresado en otra forma, también se puede obtener otra fracción equivalente a \frac{1}{2} multiplicando numerador y denominador por otro número:

 

\frac{3}{6}=\frac{3}{3}\left ( \frac{1}{2} \right )

 

Y este proceso de encontrar fracciones equivalentes puede repetirse las veces que queramos y con los números que deseemos. Siempre en matemáticas es mejor expresar las fracciones en su forma más básica es decir cuando numerador y denominador no tienen factores comunes. El proceso para expresar las fracciones en su forma más básica se llama simplificación de fracciones.