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Ecuaciones Binomias Ejemplos


En la entrada "Ecuaciones Binomias" se definieron este tipo de ecuaciones y además se presentó la forma de resolverlas, en esta entrada veremos dos ejemplos más de ecuaciones binomias. Resolver para x:

 

x^{3}-64=0

 

La ecuación es una diferencia de cubos ( ¿Cómo factorizarla? ) que puede factorizarse así:

 

x^{3}-64=\left ( x-4 \right )\left ( x^{2}+4x+16 \right )=0

 

\left ( x-4 \right )\left ( x^{2}+4x+16 \right )=0

 

El primer factor de la ecuación nos muestra una solución:

 

x-4=0

 

x_{1}=4

 

Las otras dos soluciones las obtendremos del factor restante:

 

x^{2}+4x+16=0

 

Las raíces se encuentran usando la fórmula cuadrática para los valores a=1 , b=4 y c=16 tenemos:

 

x=\frac{-4\pm \sqrt{\left ( 4 \right )^{2}-4\left ( 1 \right )\left ( 16 \right )}}{2\left ( 1 \right )}

 

x=\frac{-4\pm \sqrt{-48}}{2}=\frac{-4\pm 4\sqrt{-3}}{2}

 

x_{2}=\frac{-4+4\sqrt{3}\sqrt{-1}}{2}=-2+2\sqrt{3}i

 

x_{3}=\frac{-4-4\sqrt{3}\sqrt{-1}}{2}=-2-2\sqrt{3}i

 

Las soluciones a la ecuación binomia son 4 , -2+2\sqrt{3}i y la tercera -2-2\sqrt{3}i. Un último ejemplo de resolución de una ecuación binomia:

 

x^{3}-1=0

 

La ecuación binomia es factorizable al ser una diferencia de cubos:

 

x^{3}-1=\left ( x-1 \right )\left ( x^{2}+x+1 \right )=0

 

Del primer factor se deduce la solución x_{1}=1 y del segundo factor se llega las otras dos soluciones aplicando la fórmula cuadrática:

 

x_{2}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}

 

x_{3}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}

 

 

 

 

Ecuaciones Binomias


Las ecuaciones binomias es una ecuación que consta de dos términos, se puede usar la siguiente forma general para describirlas:

 

x^{n}\pm A=0

 

El siguiente es un ejemplo muy simple de cómo puede resolverse una ecuación binomia:

 

x^{4}-16=0

 

Es una ecuación binomia, para encontrar la solución a la ecuación utilizaremos la factorización pues es una diferencia de cuadrados, factorizando queda:

 

\left ( x^{2}+4 \right )\left ( x^{2}-4 \right )=0

 

Seguimos con el procedimiento habitual que es igualar cada factor a cero:

 

x^{2}+4=0

 

x^{2}=-4

 

x_{1}=\sqrt{-4}=2i    ,     x_{2}=-\sqrt{-4}=-2i

 

Ya hemos descubierto dos soluciones, ahora igualamos el otro factor a cero:

 

x^{2}-4=0

 

x=\sqrt{4}

 

x_{3}=2     ,     x_{4}=-2

 

Y así se encuentran las cuatro soluciones a la ecuación que son 2i , -2i , 2 y -2. En la siguiente entrada encuentra más ejemplos de ecuaciones binomias.

 

Ecuaciones Bicuadradas


Son ecuaciones bicuadradas las ecuaciones del tipo:

 

ax^{4}+bx^{2}+c=0

 

Como puede apreciarse el grado del primer término es el doble que aquel del segundo término, la constante c indica un valor independiente que no se ve afectado por la variable x. La ecuación anterior puede reducirse a la siguiente forma:

 

at^{2}+bt+c=0

 

Esto se logra con el cambio de variable t=x^{2}, dando lugar a una ecuación de segundo grado que sabes como resolver (ver aquí). Al final regresamos a nuestra variable inicial y encontramos las soluciones de la ecuación original. Veámoslo con un ejemplo:

 

x^{4}+9x^{2}+20=0

 

Aplicamos el cambio de variable t=x^{2} :

 

t^{2}+9t+20=0

 

Resolvemos para t, puede hacerse por la fórmula general o factorización, usaremos factorización:

 

t^{2}+9t+20=\left ( t+5 \right )\left ( t+4 \right )=0

 

t+5=0   entonces   t=-5

 

t+4=0   entonces   t=-4

 

Soluciones: t_{1}=-5     y     t_{2}=-4

 

Ahora volvemos a la ecuación original, recordemos que t=x^{2} entonces:

 

x^{2}=-5 tiene dos resultados:

 

x_{1}=\sqrt{-5}     ó     x_{2}=-\sqrt{-5}

 

 

x^{2}=-4 tiene dos resultados:

 

x=\sqrt{-4}

x_{3}=2i

 

ó

 

x=-\sqrt{-4}

x_{4}=-2i

 

De esta forma encontramos las soluciones de la ecuación bicuadrada original que son \sqrt{-5} , -\sqrt{-5} , 2i , -2i. En resumen se sigue el siguiente proceso para resolver una ecuación bicuadrada:

 

  • Se hace el cambio de variable t=x^{2} (usamos x como incógnita pero puede ser cualquier otra).

 

  • Se resuelve la ecuación resultante para t obteniendo dos valores.

 

  • Se regresa a la variable original sustituyendo x=\pm \sqrt{t} por cada valor de t de la ecuación anterior.

 

Recordemos que el teorema fundamental del álgebra nos dice que en un polinomio de grado 4 deberíamos encontrar 4 soluciones o raíces cuando es igualado a cero.

 

 

Regla de Tres Inversa Ejemplos


1.-Un automóvil recorre la distancia de una ciudad a otra en 90 minutos yendo a una velocidad de 60km/hr ¿Cuánto tiempo necesita para cubrir el recorrido a una velocidad de 120km/hr?

Debemos aplicar la regla de tres inversa puesto que las cantidades se relacionan entre sí de la forma Más-Menos (a más velocidad menos tiempo), acomodando los datos tenemos:

 

 

En el lado derecho ponemos el tiempo pues es lo que buscamos, y usamos la fórmula:

 

x=\frac{60\cdot 90}{120}=45

 

Se requieren 45 minutos para recorrer la distancia de una ciudad a otra.

 

2.-Una alberca se desagua totalmente utilizando una bomba, esto sucede en 8hrs, ¿Cuántas bombas se requieren para que el proceso dure 2 horas?

 

La respuesta es cuatro bombas ¿Puedes decir por qué?

 

3.-Un carro consume 4 lts de gasolina y recorre 52km, ¿Cuánta gasolina necesita para recorrer 169km?

En este problema la relación entre la gasolina y kilómetros recorridos es Más-Más es decir a más gasolina más kilómetros, por lo tanto no se aplica la regla de tres inversa sino la regla de tres simple.

 

 

 

 

 

 

Regla de Tres Inversa


Para explicar cómo y cuándo funciona la regla de tres inversa debemos saber cuál es la diferencia entre la regla de tres simple y la inversa, la regla de tres simple funciona cuando la relación entre las cantidades es directa es decir cuando una cantidad aumenta la otra también (si disminuye la otra también disminuye). La regla de tres inversa se aplica cuando la relación entre las variables es inversa osea cuando una variable aumenta la otra disminuye (es lógico que cuando disminuye entonces la otra aumenta). La relación entre variables puede expresarse así:

 

\frac{y}{x}=k\Rightarrow y=kx         Relación donde aplicamos la regla de tres directa.

 

y\cdot x=k\Rightarrow y=\frac{k}{x}       Relación donde aplicamos la regla de tres inversa.

 

Pongamos un ejemplo para saber qué regla de tres aplicaremos:

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Problema 7


Está por comenzar una carrera de caballos, los nombres de los caballos son: Athos, Porthos, Aramis y D'Artagnan, de las carreras anteriores se ha observado que la probabilidad de que gane D'Artagnan es el  doble que la de Aramis, la probabilidad de que gane Aramis es el doble que la de Porthos, y la probabilidad de que gane Porthos es el doble que la de Athos, ¿Cuál es la probabilidad de que gane Porthos o D'Artagnan?

 

Para responder la pregunta debemos asignar cierto valor a cada caballo de tal manera que después podamos ver el número total de casos favorables y compararlo con el número de casos posibles, supongamos que asignamos una ficha al caballo Athos, entonces:

 

Athos=1

Porthos=2

Aramis=4

D'Artagnan=8

 

Si Athos tiene una posibilidad de ganar entonces Porthos tiene el doble y Aramis el doble de Porthos, etc. El número total de casos posibles es:

 

1+2+4+8=15

 

Y el número de casos favorables es 2+8=10 que es el número de fichas entre ambos caballos, la probabilidad de que gane Porthos o D'Artagnan es el número de casos favorables entre el número de casos posibles es decir:

 

\frac{10}{15}=\frac{2}{3}

 

 

Regla de Tres Simple


La regla de tres simple está relacionada con proporciones, una proporción es una relación entre dos o más cantidades y se expresa por medio de una fracción, por ejemplo pensemos en la receta para hacer limonada, supongamos que por cada litro de agua necesitamos 3 limones y 40 grs de azúcar, la proporción entre el agua y los limones puede expresarse como:

 

\frac{3li}{1ag}=3

 

 

La igualdad anterior expresa el hecho de necesitar tres limones por cada litro de agua, la relación entre el agua y el azúcar sería:

 

\frac{40az}{1ag}=40

 

La expresión de arriba muestra que son necesarios 40 gramos de azúcar por cada litro de agua, con esas proporciones podemos cambiar el número de limones y azucar para cualquier cantidad de agua, ejemplo ¿Qué cantidad de limones se necesitan para medio litro de agua? para resolver el problema usemos la primera proporción:

 

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Ecuaciones Lineales Literales


Al incluir la palabra literales solo nos indica que tendremos que sacar el valor de las incógnitas en función de otras letras y no números, ejemplo:

 

xa=3

 

Tiene como solución:

 

x=\frac{3}{a}

 

Aunque no sabemos cuánto vale a estamos seguros que la solución que cumple con la igualdad es \frac{3}{a}. Siguiente ejemplo:

 

4\left ( ax+b \right )=3

 

Usamos las reglas que ya conocemos (puedes verlas aquí) :

 

4ax+4b=3

 

4ax=3-4b

 

x=\frac{3-4b}{4a}  

 

Ejercicios

Resuelve las siguientes ecuaciones literales para x:

3ax+1=b

 

\frac{a}{b}+ax=1

 

\frac{x}{a}+\frac{1}{b}=3

 

Soluciones