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Logaritmo de un Producto


Dentro de las propiedades de los logaritmos encontramos una sobre el logaritmo de un producto, si
\boldsymbol{B} es la base de un sistema de logaritmos y \boldsymbol{M} y \boldsymbol{N} dos números:

 

log \boldsymbol{M}=x     entonces      \mathbf{B}^{x}=\mathbf{M}

 

log \boldsymbol{N}=y     entonces      \mathbf{B}^{y}=\mathbf{N}

 

Usando estas igualdades se llega a la siguiente propiedad en el cálculo de logaritmos:

 

log \boldsymbol{MN}= log \boldsymbol{M}+ log \boldsymbol{N}

 

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

 

Ejemplo usando logaritmos naturales:

 

ln 15= ln 3 + ln 5

 

ln 3e= ln 3 + ln e

 

 

 

 

Resolución de Triángulos II


En la entrada pasada usamos una función
trigonométrica inversa para a partir de datos determinar el ángulo de un triángulo, ahora veremos cómo determinar el valor de un lado cuando tenemos un ángulo y la longitud de un cateto. Observemos el siguiente triángulo rectángulo:

 

resolver triangulo trigonometria

 

La figura anterior muestra el valor de un ángulo y la longitud de un lado, el objetivo final es averiguar el valor de los dos ángulos faltantes y el valor de los otros lados. Por definición se dijo que el triángulo es rectángulo por lo que el ángulo C es de 90^{\circ} y por lo tanto el ángulo A mide 30^{\circ}, de esta manera los ángulos internos del triángulo suman 180^{\circ}. Pasemos a la longitud de los lados, sabemos la definición de seno de un ángulo, es el valor que resulta de dividir el cateto opuesto entre la hipotenusa, usando los valores de la imagen tenemos:

 

sin\; 60^{\circ}=\frac{4}{AB}

 

0.8660=\frac{4}{AB}

 

AB=\frac{4}{0.8660}

 

AB=4.618

 

Hemos igualado el seno de 60 grados con la relación que sabemos por definición (cateto opuesto sobre hipotenusa) lo que nos lleva a una ecuación donde la incógnita es el lado AB es decir la hipotenusa. El valor de la hipotenusa es 4.618. Ahora podemos usar el teorema de pitágoras para saber la longitud del otro cateto, sin embargo usaremos otra función trigonométrica, esta es el coseno.

 

coseno triangulo funcion

Con los datos que tenemos podemos crear una igualdad:

 

cos\; 60^{\circ}=\frac{BC}{4.618}

 

\frac{1}{2}=\frac{BC}{4.618}

 

BC=\frac{4.618}{2}=2.309

 

El valor del otro cateto es 2.309 de esta forma hemos resuelto el triángulo.

 

resolucion triangulo

 

 

Funciones Trigonométricas Inversas


En entradas anteriores se ha hablado de las funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante y ahora queremos explicar las inversas de esas funciones, nótese que la función inversa no es lo mismo que la inversa de una función. La función inversa establece una relación valor-ángulo y las funciones trigonométricas establecen la relación ángulo-valor. Dicho de forma sencilla las funciones trigonométricas inversas reciben un valor y lo convierten en un ángulo. La forma de escribir las funciones trigonométricas inversas es la siguiente:

 

sin^{-1}

 

cos^{-1}

 

tan^{-1}

 

ctg^{-1}

 

sec^{-1}

 

csc^{-1}

 

En ocasiones también se utiliza la notación arcsin , arccos , etc.

 

Resolución de Triángulos


Una vez que conocemos las funciones trigonométricas tenemos la capacidad de resolver triángulos rectángulos o en otras palabras encontrar el valor de un ángulo o el tamaño de un lado cuando se nos dan otros valores del mismo triángulo, muchas veces ese tipo de problemas se presentan de forma gráfica o con un enunciado. Ejemplo, analizar la siguiente imágen y determinar el valor del ángulo \alpha :

 

resolucion triangulo rectangulo

El triángulo rectángulo anterior nos muestra que la hipotenusa mide 5 y el cateto opuesto al ángulo \alpha mide 4, dentro de las funciones trigonométricas tenemos que encontrar una que relacione tanto la hipotenusa como el cateto opuesto, tenemos dos, seno y cosecante, utilicemos el seno del ángulo,  por definición el seno de un ángulo es igual al cateto opuesto sobre la hipotenusa, es decir en nuestro triángulo sería:

 

sin \alpha =\frac{4}{5}

 

¿Qué ángulo tiene como seno \frac{4}{5}? Usamos la inversa de la función seno para averiguarlo:

 

sin^{-1}\left ( \frac{4}{5}\right )=53.13

 

El ángulo \alpha \approx 53.13^{\circ}.

 

Ley de los Senos


La ley de los senos tiene que ver con proporciones, además aplica a los triángulos que no son triángulos
rectángulo 
, establece las siguientes proporciones:

 

\frac{a}{Sin A}=\frac{b}{Sin B}=\frac{c}{Sin C}

 

Lo anterior suponiendo que tenemos un triángulo de lados a, b, c y ángulos A,B,C como el siguiente:

 

La ley de los senos establece que los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. La ley de los senos nos ayuda a resolver triángulos oblicuos.

 

Área del Círculo


En la entrada "Círculo" se definió el círculo y algunos de sus elementos, también se dijo que la constante \pi juega un gran papel para encontrar el área de un círculo, veamos la siguiente imagen:

 

area de circulo

 

Tenemos un círculo y su radio, para determinar el área del círculo solo es necesario conocer la magnitud del radio, el área del círculo se obtiene usando la siguiente fórmula:

 

A=\pi r^{2}

 

Donde \pi \approx 3.1416 y r es la longitud del radio. Ejemplo:

 

 

area del circulo

 

Podemos notar del círculo anterior que la longitud del radio es 5 por lo tanto sustituimos en la fórmula para sacar el área:

 

A=\pi\left ( 5 \right )^{2}=25\pi

 

La fórmula para obtener la longitud de la circunferencia es la siguiente:

 

C=2r\pi

 

La longitud de la circunferencia denotada por C es igual a \pi por diámetro, pero ya hemos dicho que el diámetro es igual a 2r, si usamos el círculo anterior para sacar la longitud de la circunferencia obtenemos:

 

C=2\cdot 5\cdot \pi =10\pi

 

La constante \pi es muy importante en muchas ramas de matemáticas, calcular el área y la circunferencia de un círculo necesitan de esta constante.

 

Círculo


La imagen que representa el círculo es la siguiente:

 

circulo circunferencia y radio

 

El punto A es llamado centro, la circunferencia es la que delimita al círculo (c), la distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se llama radio, el círculo está delimitado por la circunferencia e incluye todo lo que hay en su interior. Otra parte importante del círculo es el diámetro, el diámetro es una semirecta que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro del círculo, el diámetro es el doble de la longitud que el radio. A continuación se muestra un diámetro en el círculo:

 

diametro en un circulo

 

Una constante matemática que está muy relacionada con el círculo es pi \pi , el valor de \pi es aproximado a 3.1416 y es necesario para calcular el área del círculo y la longitud de la circunferencia.

 

Identidades Trigonométricas


Vamos a hacer un resumen de las identidades trigonométricas más conocidas, la lista es la siguiente:

 

sen^{2}\theta+cos^{2}\theta =1

 

1 +tan^{2}\theta=sec^{2}\theta

 

1 +cot^{2}\theta=csc^{2}\theta

 

sen\theta =\frac{1}{csc\theta }

 

cos\theta =\frac{1}{sec\theta }

 

tan\theta =\frac{1}{cot\theta }

 

tan \theta =\frac{sen\theta }{cos\theta }

 

cot\theta =\frac{cos\theta }{sen\theta }

 

Las identidades trigonométricas son útiles al resolver diversas clases de problemas como pueden ser ecuaciones trigonométricas y una variedad de ejercicios de cálculo integral y diferencial, también en geometría analítica son utilizadas.

Semiperímetro de un Triángulo


El semiperímetro de un triángulo se define como la mitad del perímetro, en un triángulo como el siguiente veamos cuál es el semiperímetro:

 

semiperimetro

 

Se usa la siguiente fórmula:

 

p=\frac{a+b+c}{2}

 

Entonces:

 

p=\frac{3+4+5}{2}=6

 

La letra p representa al semiperímetro.

 

Fórmula de Herón para Área de un Triángulo


Una forma alternativa para saber el área de un triángulo si desconocemos su altura es usar la fórmula de Herón, sin embargo para usarla es necesario conocer la medida de los tres lados del triángulo. La fórmula de Herón es la siguiente:

 

A=\sqrt{p\left ( p-a \right )\left ( p-b \right )\left ( p-c \right )}

 

Donde:

 

p=  semiperímetro

 

a,b,c=   los lados del triángulo

 

El semiperímetro se define como \frac{a+b+c}{2}. Ejemplo: calcula el área del siguiente triángulo usando la fórmula de Herón

 

area formula heron

 

El semiperímetro es:

 

p=\frac{3+4+5}{2}=6

 

Entonces:

 

A=\sqrt{6\left ( 6-5 \right )\left ( 6-3 \right )\left ( 6-4 \right )}=\sqrt{6\cdot 1\cdot 3\cdot 2}

 

A=\sqrt{36}=6

 

El área del triángulo es 6 lo cual puede confirmarse con la fórmula que usa la altura:

 

A=\frac{4\cdot 3}{2}=6