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Área de un Triángulo


En la entrada "Perímetro de un triángulo" se mostró que existe una sola fórmula para el cálculo del perímetro y es independiente del tipo de triángulo, con el área es algo parecido, disponemos de una fórmula para calcular el área de un triángulo y es válida para cualquier triángulo, observa la siguiente figura y fórmula:

 

formula area de triangulo

 

a=\frac{b\cdot h}{2}

 

a=  área

 

b= base

 

h= altura (notemos que h es perpendicular a b para poder llamarse altura)

 

La fórmula para sacar el área de un triángulo es base multiplicada por la altura y el resultado dividido por dos. También para que h sea una altura tiene que ser la distancia más corta entre la base y el vértice opuesto a ella osea esas dos rectas deben ser perpendiculares. Ejemplo:

 

area de triangulo ejemplo

 

Primero se identifica la base y la altura:

 

b=8

 

h=5

 

Aplicamos la fórmula:

 

a=\frac{8\cdot 5}{2}=20

 

El área del triángulo es 20. Es interesante que podamos saber el área de un triángulo si sabemos cuánto miden sus tres lados, se utiliza algo llamado fórmula de Herón.

 

Triángulo Rectángulo


Uno de los triángulos más conocidos es el triángulo rectángulo, un triángulo rectángulo se caracteriza por una cosa: uno de sus ángulos es recto (90^{\circ}), los lados restantes pueden ser iguales o no. La siguiente imagen muestra un triángulo rectángulo:

 

ejemplo triangulo rectangulo geogebra

 

Además en un triángulo rectángulo los lados tienen nombres, el lado más largo se le llama hipotenusa y los otros dos reciben el nombre de catetos. El teorema de pitágoras es cierto para los triángulos rectángulos, puesto que un ángulo es de 90^{\circ} los otros dos deben sumar otros 90^{\circ}. Un triángulo rectángulo generalmente es usado para definir las funciones trigonométricas (seno, coseno, etc).

 

Perímetro de un Triángulo


El perímetro se define como la suma de los lados de una figura, por lo tanto para obtener el perímetro de un triángulo necesitamos saber el tamaño de sus lados.

 

triangulo isosceles ejemplo geogebraejemplo triangulo escaleno geogebra

 

Tenemos tres triángulos diferentes, el primero es equilátero, el segundo isósceles y el tercero escaleno, la fórmula para conocer el perímetro de cualquiera de ellos es la misma, el perímetro es igual a la suma de los lados:

 

p=a+b+c

 

Calculemos el perímetro de un triángulo:

 

triangulo rectangulo ejemplo perimetro

 

Según la fórmula p=a+b+c entonces:

 

p=3+4+5

 

p=12

 

 

Triángulo Escaleno


El triángulo escaleno se caracteriza por el hecho de que sus tres lados son de diferente tamaño, además todos sus ángulos son diferentes, en la imagen siguiente se puede notar esto.

 

ejemplo triangulo escaleno geogebra

 

Los ángulos A , B y C del triángulo escaleno anterior  son diferentes, lo mismo ocurre con los lados a , b y c.

 

Triángulo Equilátero


El triángulo equilátero es el que tiene sus tres lados de igual magnitud, puesto que los lados de un triángulo y sus ángulos están relacionados entonces también sus ángulos son iguales y miden 60^{\circ}.

 

geogebra triangulo equilatero ejemplo

 

El triángulo equilátero es el polígono regular más simple.

 

Triángulos


En la geometría euclídea un triángulo se define como la unión de tres puntos que no estén sobre la misma línea, es decir en un plano dibujamos tres puntos y luego los unimos con la condición de que no sean colineales. A continuación se muestra una figura:

 

 

Los tres puntos A , B y C se denominan vértices del triángulo y como vemos en la imagen están unidos por segmentos de recta, aunque A y C se encuentran sobre la misma recta B está fuera de ella (de forma análoga se puede decir que A y B o B y C se yacen en una misma recta). Los triángulos se clasifican por la longitud de sus lados y por sus ángulos. Los vértices de los triángulos suelen nombrarse con letras mayúsculas y los lados en letras minúsculas generalmente las mismas que el vértice opuesto. Una de las características más conocidas de los triángulos es que los ángulos internos de ellos suman 180^{\circ}.

 

Signos de las Funciones Trigonométricas


Consideremos la siguiente figura que muestra los cuatro cuadrantes en un plano cartesiano:

 

 

A continuación se muestran los signos que tienen las funciones trigonométricas en cada cuadrante:

 

 

La tabla anterior nos indica que para un ángulo 0<\alpha <90 (primer cuadrante) todas las funciones trigonométricas son positivas, para 90<\alpha <180 (segundo cuadrante) todas las funciones son negativas excepto seno y cosecante, etc.

 

Cosecante de un Ángulo


Dada la siguiente figura:

La cosecante de un ángulo se define como la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto, la cosecante de los ángulos del triángulo anterior son:

 

csc  B=\frac{a}{b}

 

csc  C=\frac{a}{c}

 

La definición anterior implica que la cosecante y el seno son funciones recíprocas, se expresa de esta forma:

 

csc  B=\frac{1}{sen\; B}

 

Un ejemplo:

¿Cuál es el valor de la cosecante para los ángulos B y C del triángulo anterior?

 

csc  B=\frac{5}{3}

 

csc  C=\frac{5}{4}

 

Secante de un Ángulo


La definición de secante la extraeremos de la siguiente figura:

Es un triángulo rectángulo de lados a , b y c , la secante se define como la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente, es decir:

 

sec  B=\frac{a}{c}

 

sec  C=\frac{a}{b}

 

Observa el siguiente triángulo y deduce según la definición el valor de la secante para los ángulos B y C:

 

Los valores son:

 

sec  B=\frac{5}{4}

 

sec  C=\frac{5}{3}

 

Otra cosa interesante es que la secante de un ángulo es recíproca a el coseno del mismo ángulo:

 

sec  B=\frac{1}{cos\; B}

 

Cotangente de un Ángulo


La definición de la cotangente es la siguiente: razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto, dicho de otra forma la cotangente de los ángulos B y C del siguiente triángulo son:

 

cot  B=\frac{c}{b}

 

cot  C=\frac{b}{c}

 

Se puede notar que la forma de abreviar cotangente es cot, ahora un ejemplo con un triángulo cuyos valores están dados:

 

cot  B=\frac{4}{3}

 

cot  C=\frac{3}{4}

 

Por la definición dada se deduce que la cotangente de un ángulo es recíproca a la tangente del mismo ángulo, es decir:

 

cot  B=\frac{1}{tan \;B}