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Problema 8

La señora Leticia va a empezar una granja por eso decide comprar algunos animales, dentro de su presupuesto está gastar 100 pesos, además quiere iniciar con 100 animales, el precio de las gallinas es de .50 pesos, los cerdos cuestan 3 pesos y los becerros a 10 pesos cada uno. Al menos desea tener un animal de cada uno. ¿Cuantas  gallinas, cerdos y becerros debe comprar de tal manera que tenga 100 animales y gaste los 100 pesos?

 

Para empezar diremos que g representa a el número de gallinas, c al número de cerdos y b la cantidad de becerros a comprar. Sabemos el precio de cada uno, entonces lo primero que hacemos es poner el enunciado que se refiere al precio de los animales de la siguiente forma:

 

\frac{g}{2}+3c+10b=100

 

La ecuación nos dice que el número de gallinas debe dividirse entre dos para obtener el costo (puesto que cuestan 50 centavos), el número de cerdos se multiplica por tres y el número de becerros se multiplica por 10 y sumando todo debe darnos 100 pesos. Por otro lado tenemos:

 

g+c+b=100

 

es decir el número de animales en total debe ser también 100. Juntando las dos ecuaciones tenemos un sistema con tres incógnitas:

 

\frac{g}{2}+3c+10b=100

g+c+b=100

 

Por el método tradicional no es posible resolver el problema, más bien usaremos un truco. Para explicarlo primero multipliquemos por 2 la primera ecuación (para operar sólo con enteros):

 

2\left ( \frac{g}{2}+3c+10b=100 \right )

 

g+6c+20b=200

 

Ahora multiplicamos la segunda ecuación por -1:

 

-1\left ( g+c+b=100 \right )

 

-g-c-b=-100

 

El truco está en agrupar y sumar ambas ecuaciones para obtener una equivalente pero con dos incógnitas en lugar de tres:

 

g-g+6c-c+20b-b=200-100

 

5c+19b=100

 

Ahora el problema se ha convertido en encontrar valores para c y b que cumplan con la igualdad anterior. Miremos más de cerca la ecuación:

 

5c+19b=100

 

Lo primero que notamos es que los valores deben ser enteros (es decir no medias gallinas o un tercio de cerdos), además los valores no pueden ser negativos (¿Quién ha visto -1 cerdo? jaja), por otro lado el valor de b necesariamente es menor que 6 puesto que 19\left ( 6 \right )=114 y 114>100. Empezamos probando valores, digamos que c=1 entonces:

 

5\left ( 1 \right )+19b=100

 

5+19b=100

 

19b=95

 

b=5

 

Sin tanto buscar ya hemos encontrado los valores que necesitamos, c=1 y b=5, solo nos falta saber el valor de g, para esto tomamos la primera ecuación y sustituimos los valores de c y b que hallamos:

 

g+6c+20b=200

 

g+6\left ( 1 \right )+20\left ( 5 \right )=200

 

g+6+100=200

 

g=200-106

 

g=94

 

Ya está hecho, solo falta comprobar que g+c+b=100 que es lo mismo que el número total de animales es 100. Sustituimos los valores:

 

g+c+b=100

 

94+1+5=100  

 

Se cumple la igualdad entonces es correcta la solución, la señora Leticia debe comprar 94 gallinas, 1 cerdo y 5 becerros para tener 100 animales y gastar 100 pesos.

 

 

Problema 7


Está por comenzar una carrera de caballos, los nombres de los caballos son: Athos, Porthos, Aramis y D'Artagnan, de las carreras anteriores se ha observado que la probabilidad de que gane D'Artagnan es el  doble que la de Aramis, la probabilidad de que gane Aramis es el doble que la de Porthos, y la probabilidad de que gane Porthos es el doble que la de Athos, ¿Cuál es la probabilidad de que gane Porthos o D'Artagnan?

 

Para responder la pregunta debemos asignar cierto valor a cada caballo de tal manera que después podamos ver el número total de casos favorables y compararlo con el número de casos posibles, supongamos que asignamos una ficha al caballo Athos, entonces:

 

Athos=1

Porthos=2

Aramis=4

D'Artagnan=8

 

Si Athos tiene una posibilidad de ganar entonces Porthos tiene el doble y Aramis el doble de Porthos, etc. El número total de casos posibles es:

 

1+2+4+8=15

 

Y el número de casos favorables es 2+8=10 que es el número de fichas entre ambos caballos, la probabilidad de que gane Porthos o D'Artagnan es el número de casos favorables entre el número de casos posibles es decir:

 

\frac{10}{15}=\frac{2}{3}

 

 

Problema 6


Imaginemos que estamos en un concurso de televisión en el que podemos llegar a ganar un auto, la dinámica es simple, frente a nosotros están tres puertas, detrás de una de ellas está un auto, en las otras dos hay cabras, el presentador nos pide que escojamos una puerta, después de eso abre una puerta de las dos restantes y nos muestra que hay una cabra y nos pregunta: tienes la opción de cambiar de puerta ¿Quieres hacerlo?. El problema es: ¿Que es mejor para nosotros, cambiar de puerta, quedarnos con la misma o existen las mismas posibilidades de ganar si cambiamos o nos quedamos igual?

 

 

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Problema 5 (Combinatoria)


¿Cuántas placas distintas existen que empiezan con dos letras a la izquierda y tres números a la derecha? (Considerar alfabeto de 27 letras)

 

Usemos un sistema de casillas para resolver el problema, en la primera posición hay un total de 27 posibles opciones, en la segunda posición igual son 27, en la tercera, cuarta y quinta posición hay 10 posibilidades distintas:

 

\underline{27}\; \underline{27}\; \underline{10}\; \underline{10}\; \underline{10}

 

Entonces el número total de placas distintas sería:

 

27\times 27\times 10\times 10\times 10=729000

 

 

 

Problema 4 (teoría de números)


Encontrar a y b enteros tales que:

 

\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+\frac{1}{5\times 7}+...+\frac{1}{999\times 1001}=\frac{a}{b}.

 

Solución.-Observemos primero que los términos de la suma son de la forma \frac{1}{x\left ( x+2 \right )}, la cual puede expresarse en suma de fracciones más simples o parciales del siguiente modo:

 

\frac{1}{x\left ( x+2 \right )}=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{x}-\frac{1}{x+2} \right )

 

Usando esta igualdad la suma del problema quedaría:

 

\frac{a}{b}=\frac{1}{2}\left [ \left ( \frac{1}{1}-\frac{1}{3} \right )+\left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{5} \right )+\left ( \frac{1}{5}-\frac{1}{7} \right )+...+\left ( \frac{1}{999}-\frac{1}{1001} \right ) \right ]

 

Muchos de los términos se cancelan entre ellos y nos queda:

 

\frac{a}{b}=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{1}-\frac{1}{1001} \right )=\frac{1}{2}\left ( \frac{1000}{1001} \right )=\frac{500}{1001}

 

 

Problema (geometría)


En el triángulo ABC de la figura, el segmento BH es una altura y los ángulos CAD y DAB miden lo mismo. El ángulo mayor entre AD y BH mide 4 veces lo que el ángulo DAB, así como se puede observar en la figura. ¿Cuál es la medida del ángulo CAB?

 

geogebra-export

 

Solución.- Para conocer el valor de \angle CAB solo necesitamos saber cuanto vale \alpha pues \angle CAB=2\alpha . Llamemos O al punto de intersección de AD y BH entonces tenemos las siguientes igualdades:

 

\angle AOH +\alpha +90^{\circ}=180^{\circ}

 

\angle AOH + 4\alpha =180^{\circ} por lo tanto:

 

\angle AOH +\alpha +90^{\circ}=\angle AOH + 4\alpha resolvemos la ecuación:

 

\alpha +90^{\circ}=4\alpha

 

-3\alpha=-90^{\circ}

 

\alpha=30^{\circ}

 

\angle CAB=2\alpha =60^{\circ}  palomita

 

Problema (Ecuaciones)


Jahaziel compró 3 plumas, 7 lapices y una regla y pagó 31.50 pesos. Oscar  compró 4 plumas, 10 lápices y una regla y pagó 42 pesos. Adrián compró una pluma, un lápiz y una regla. ¿Cuánto pagó Adrián?

 

El enunciado puede ponerse de la siguiente forma: sea p el precio delas plumas, l el de los lápices, r el de la regla y C lo que pagó Adrián, entonces:

 

3p+7l+1r=31.5

 

4p+10l+1r=42

 

1p+1l+1r=C

 

Puesto que es un sistema de ecuaciones con dos ecuaciones y tres variables no es posible encontrar el valor de cada artículo y luego sustituirlo en la tercera ecuación, por lo tanto el método a seguir es encontrar alguna combinación de las primeras ecuaciones tales que al sumarlas nos de la tercera. En otras palabras buscamos dos números a y b tales que al multiplicar la primera ecuación por a y la segunda por b y sumar los resultados nos den la tercera ecuación. Por prueba y error no es muy difícil llegar a la conclusión de que esos números son a=3 y b=-2 pues:

 

3\left ( 3p+7l+1r \right )=9p+21l+3r=94.5

 

-2\left ( 4p+10l+1r \right )=-8p-20l-2r=-84

 

Después sumamos ambas ecuaciones y tenemos:

 

+9p+21l+3r=+94.5

-8p-20l-2r=-84

_____________________________

+1p+1l+1r=+10.5  palomita

 

Entonces el resultado buscado es 10.5 pesos. Un método específico para saber cuales son los números a y b por los cuales había que multiplicar las ecuaciones es el siguiente, primero notemos que:

 

a\left ( 3p+7l+1r \right )=3ap+7al+ar

 

b\left ( 4p+10l+1r \right )=4bp+10bl+br

 

En este punto solo nos interesan los coeficientes, queremos que al sumarlos nos den 1 pues esos son los coeficientes de la última ecuación. Sería:

 

3a+4b=1

 

7a+10b=1

 

a+b=1

 

En este nuevo sistema de ecuaciones sí podemos conocer el valor de cada incógnita, resolviendo las dos primeras por el método que más te agrade llegamos a las soluciones a=3 , b=-2. Estas soluciones satisfacen la tercera ecuación lo que nos muestra que el sistema inicial sí tiene solución. Por último tenemos que C es tres veces la primera ecuación menos dos veces la segunda (del sistema inicial):

 

C=3\left ( 31.5 \right )-2\left ( 42 \right )=10.5  palomita

Problema (Teoría de números)


Una manguera llena un estanque de agua en 12 horas. Otra manguera lo llena en 10 horas y un tubo de desagüe lo vacía en 6 horas. ¿En cuanto tiempo se llena el estanque si las dos mangueras y el desagüe están abiertos?

La parte del estanque que se llena en una hora es:

 

\frac{1}{12}+\frac{1}{10}-\frac{1}{6}=\frac{5+6-10}{60}=\frac{1}{60}

 

La suma de fracciones nos muestra que en una hora se llena \frac{1}{60} partes del tanque, por lo tanto se necesitan de 60 horas para llenarlo.