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Ecuación de la Circunferencia que pasa por Tres Puntos


Sabemos que dados tres puntos no colineales (o que no estén sobre la misma recta) se puede dibujar una circunferencia que pase por ellos. Entonces es lógico poder obtener la ecuación de una circunferencia que pase por tres puntos sin necesidad de más datos, solo los tres puntos. Veamos cómo, la idea detrás del método es la siguiente: si un punto está sobre una circunferencia entonces debe cumplir la igualdad en la ecuación que representa dicha circunferencia, la forma general de una ecuación de la circunferencia es:

 

x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0

 

¿Cómo hacer que esta ecuación general pase a ser una ecuación específica o única? Si sustituimos los valores del primer punto en la ecuación entonces la igualdad debe cumplirse, si sustituimos los valores del segundo punto entonces debe cumplirse y así con el último punto. Haciendo esto se pueden encontrar valores específicos para las constantes D,E,F o lo que es lo mismo: encontraremos la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos.

 

Ejemplo

Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos \left ( -1,1 \right ) , \left ( 3,5 \right ) y \left ( 5,-3 \right )

 

circunferencia que pasa por tres puntos

 

Sustituimos los valores de los tres puntos en la ecuación general, para el primer punto tenemos:

 

1+1-D+E+F=0

D-E=2

 

Para el segundo punto:

 

9+25+3D+5E+F=0

3D+5E+F=-34

 

Para el tercer punto:

 

25+9+5D-3E+F=0

5D-3E+F=-34

 

Ahora ya tenemos tres ecuaciones nuevas:

 

D-E=2

3D+5E+F=-34

5D-3E+F=-34

 

Las soluciones a este sistema de ecuaciones (puedes ver cómo se soluciona un sistema de ecuaciones aquí) son:

 

D=-\frac{32}{5}

E=-\frac{8}{5}

F=-\frac{34}{5}

 

Sustituyendo estos valores en la ecuación general encontramos la ecuación específica para la circunferencia que pasa por los tres puntos dados, esto es:

 

x^{2}+y^{2}-\frac{32}{5}x-\frac{8}{5}y-\frac{34}{5}=0

 

Se vé mejor si la multiplicamos por 5 :

 

5x^{2}+5y^{2}-32x-8y-34=0

 

Así termina el problema aunque aún se pueden hacer varias cosas como pasar a la ecuación ordinaria de la circunferencia u obtener el centro y el radio (encuentras cómo hacerlo aquí).

 

Forma General de la Ecuación de la Circunferencia

Ya se ha hablado que la circunferencia (aquí) en geometría analítica es representada por la ecuación:

 

\left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}

 

Si desarrollamos ambos binomios y trasladamos todas las variables a el lado izquierdo de la igualdad llegamos a lo que se conoce como forma general de la ecuación de la circunferencia, esto es:

 

x^{2}+y^{2}-2xh-2ky+h^{2}+k^{2}-r^{2}=0

 

Puesto que h,k,r son constantes la ecuación anterior se puede reescribir como:

 

x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0

 

Donde:

 

D=-2h

 

E=-2k

 

F=h^{2}+k^{2}-r^{2}

 

Toda circunferencia puede representarse con la ecuación \left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2} entonces cualquier circunferencia puede escribirse de la forma general puesto que el desarrollo de los binomios no altera la igualdad. Ejemplo: expresa la ecuación de la circunferencia en su forma general cuyo centro es el punto \left ( 3,1 \right ) y radio 2. Primero representamos la circunferencia usando la forma ordinaria:

 

\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=2^{2}

 

\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=4

 

Después desarrollamos ambos binomios y agrupamos términos del lado izquierdo:

 

x^{2}-6x+9+y^{2}-2y+1-4=0

 

x^{2}+y^{2}-6x-2y+6=0

 

Con eso se da por terminado el proceso. Se observa los valores de las siguientes constantes:

 

D=-6

 

E=-2

 

F=6

 

Ejercicios

 

Escribir en su forma general las siguientes circunferencias:

 

x^{2}+y^{2}=1

 

\left ( x-1 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=\frac{1}{4}

 

\left ( x-a \right )^{2}+\left ( y-b \right )^{2}=\left ( b-1 \right )^{2}

 

Soluciones

Ecuación de la Circunferencia Ejemplos

En la entrada anterior "Ecuación de la Circunferencia" vimos la ecuación que describe una circunferencia en el plano cuyo centro es el punto \left ( h,k \right ) y radio r, esta ecuación es:

 

\left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}

 

Usando la ecuación anterior ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con radio \frac{1}{2} y centro en \left ( -3,1 \right )? Sustituyendo:

 

\left ( x-\left ( -3 \right ) \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}

 

\left ( x+3 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=\frac{1}{4}

 

Encuentra la ecuación de la circunferencia de los siguientes centros y radios:

 

Centro \left ( 0,0 \right ) y radio 1

 

Centro \left ( 3,-2 \right ) y radio 3

 

Centro \left ( 1,1 \right ) y radio \frac{1}{2}

 

Centro \left ( a,b \right ) y radio b-1

 

Soluciones

 

Ecuación de la Circunferencia


La ecuación de la circunferencia queda definida sabiendo las coordenadas de su centro y la longitud de su radio, sean \left ( h,k \right ) las coordenadas de su centro y r su radio, la ecuación de la circunferencia es:

 

\left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}

 

Es fácil notar que cuando el centro coincide con el origen \left ( 0,0 \right ) entonces la ecuación de la circunferencia toma la forma:

 

x^{2}+y^{2}=r^{2}

 

 

donde r es la longitud del radio. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 3 ?

 

ecuacion circunferencia

 

Según la fórmula del principio:

 

x^{2}+y^{2}=9

 

Cualquier par de coordenadas que satisfagan la ecuación es parte de la circunferencia, en la figura podemos notar el punto B\left ( 3,0 \right ) que es parte de la circunferencia y debe cumplir la ecuación:

 

3^{2}+0^{2}=9

 

Claramente cumple la igualdad. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro \left ( 3,2 \right ) y radio 1? Usando la ecuación dada al inicio:

 

\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y-2 \right )^{2}=1

 

De nuevo cualquier punto cuyas coordenadas cumplan la igualdad forma parte de la circunferencia.

 

 

Área del Círculo


En la entrada "Círculo" se definió el círculo y algunos de sus elementos, también se dijo que la constante \pi juega un gran papel para encontrar el área de un círculo, veamos la siguiente imagen:

 

area de circulo

 

Tenemos un círculo y su radio, para determinar el área del círculo solo es necesario conocer la magnitud del radio, el área del círculo se obtiene usando la siguiente fórmula:

 

A=\pi r^{2}

 

Donde \pi \approx 3.1416 y r es la longitud del radio. Ejemplo:

 

 

area del circulo

 

Podemos notar del círculo anterior que la longitud del radio es 5 por lo tanto sustituimos en la fórmula para sacar el área:

 

A=\pi\left ( 5 \right )^{2}=25\pi

 

La fórmula para obtener la longitud de la circunferencia es la siguiente:

 

C=2r\pi

 

La longitud de la circunferencia denotada por C es igual a \pi por diámetro, pero ya hemos dicho que el diámetro es igual a 2r, si usamos el círculo anterior para sacar la longitud de la circunferencia obtenemos:

 

C=2\cdot 5\cdot \pi =10\pi

 

La constante \pi es muy importante en muchas ramas de matemáticas, calcular el área y la circunferencia de un círculo necesitan de esta constante.