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Forma General de la Ecuación de la Circunferencia

Ya se ha hablado que la circunferencia (aquí) en geometría analítica es representada por la ecuación:

 

\left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}

 

Si desarrollamos ambos binomios y trasladamos todas las variables a el lado izquierdo de la igualdad llegamos a lo que se conoce como forma general de la ecuación de la circunferencia, esto es:

 

x^{2}+y^{2}-2xh-2ky+h^{2}+k^{2}-r^{2}=0

 

Puesto que h,k,r son constantes la ecuación anterior se puede reescribir como:

 

x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0

 

Donde:

 

D=-2h

 

E=-2k

 

F=h^{2}+k^{2}-r^{2}

 

Toda circunferencia puede representarse con la ecuación \left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2} entonces cualquier circunferencia puede escribirse de la forma general puesto que el desarrollo de los binomios no altera la igualdad. Ejemplo: expresa la ecuación de la circunferencia en su forma general cuyo centro es el punto \left ( 3,1 \right ) y radio 2. Primero representamos la circunferencia usando la forma ordinaria:

 

\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=2^{2}

 

\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=4

 

Después desarrollamos ambos binomios y agrupamos términos del lado izquierdo:

 

x^{2}-6x+9+y^{2}-2y+1-4=0

 

x^{2}+y^{2}-6x-2y+6=0

 

Con eso se da por terminado el proceso. Se observa los valores de las siguientes constantes:

 

D=-6

 

E=-2

 

F=6

 

Ejercicios

 

Escribir en su forma general las siguientes circunferencias:

 

x^{2}+y^{2}=1

 

\left ( x-1 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=\frac{1}{4}

 

\left ( x-a \right )^{2}+\left ( y-b \right )^{2}=\left ( b-1 \right )^{2}

 

Soluciones

Ecuación de la Circunferencia Ejemplos

En la entrada anterior "Ecuación de la Circunferencia" vimos la ecuación que describe una circunferencia en el plano cuyo centro es el punto \left ( h,k \right ) y radio r, esta ecuación es:

 

\left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}

 

Usando la ecuación anterior ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con radio \frac{1}{2} y centro en \left ( -3,1 \right )? Sustituyendo:

 

\left ( x-\left ( -3 \right ) \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}

 

\left ( x+3 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=\frac{1}{4}

 

Encuentra la ecuación de la circunferencia de los siguientes centros y radios:

 

Centro \left ( 0,0 \right ) y radio 1

 

Centro \left ( 3,-2 \right ) y radio 3

 

Centro \left ( 1,1 \right ) y radio \frac{1}{2}

 

Centro \left ( a,b \right ) y radio b-1

 

Soluciones

 

Ecuación de la Circunferencia


La ecuación de la circunferencia queda definida sabiendo las coordenadas de su centro y la longitud de su radio, sean \left ( h,k \right ) las coordenadas de su centro y r su radio, la ecuación de la circunferencia es:

 

\left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}

 

Es fácil notar que cuando el centro coincide con el origen \left ( 0,0 \right ) entonces la ecuación de la circunferencia toma la forma:

 

x^{2}+y^{2}=r^{2}

 

 

donde r es la longitud del radio. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 3 ?

 

ecuacion circunferencia

 

Según la fórmula del principio:

 

x^{2}+y^{2}=9

 

Cualquier par de coordenadas que satisfagan la ecuación es parte de la circunferencia, en la figura podemos notar el punto B\left ( 3,0 \right ) que es parte de la circunferencia y debe cumplir la ecuación:

 

3^{2}+0^{2}=9

 

Claramente cumple la igualdad. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro \left ( 3,2 \right ) y radio 1? Usando la ecuación dada al inicio:

 

\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y-2 \right )^{2}=1

 

De nuevo cualquier punto cuyas coordenadas cumplan la igualdad forma parte de la circunferencia.

 

 

Ecuaciones cuadráticas


Las ecuaciones cuadráticas son de la forma:

 

ax^{2}+bx+c=0  con a\neq 0

 

Las funciones cuadráticas son del tipo:

 

f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c  siendo a\neq 0

 

 

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas

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