Tag: ecuaciones logaritmicas

Es relativamente fácil resolver ecuaciones lineales o de segundo grado usando operaciones básicas como suma,resta, división y multiplicación, cuando se nos pide resolver una ecuación en la que la incógnita aparece como exponente entonces necesitaremos hacer uso de logaritmos y sus propiedades además de las operaciones antes mencionadas, un ejemplo de ecuación exponencial es este:

 

$2^{x-3}=3$

 

¿Cómo resolvemos una ecuación de este tipo? Usando logaritmos, veamos:

 

$log\; 2^{x-3}=log\; 3$

 

Se ha tomado el logaritmo en ambas partes de la ecuación (la base del logaritmo puede ser cualquiera). Después utilizamos la propiedad "Logaritmo de una potencia" que es $log_{b}\; M^{n}=n\; log_{b}\; M$ es decir:

 

$log\; 2^{x-3}=log\; 3$

 

$\left ( x-3 \right )\; log\; 2=log\; 3$

 

A partir de aquí se usan las mismas reglas que empleamos en las ecuaciones que conocemos:

 

$x-3=\frac{log\; 3}{log\; 2}$

 

$x=\frac{log\; 3}{log\; 2}+3$

 

Ahora un ejemplo de ecuaciones logarítmicas usando logaritmos vulgares:

 

$\log_{10}\left ( x+3 \right )+\log_{10}x=1$

 

Recordemos que $\log_{10}N+\log_{10}M=\log_{10}NM$ entonces la ecuación logarítmica anterior es igual a:

 

$\log_{10}\left [ x\left ( x+3 \right ) \right ]=1$

 

Según lo visto en "Logaritmos" la definición de un logaritmo incluye: $\log_{b}x=y$  es equivalente a la expresión  $x=b^{y}$, usando esto en el problema se puede escribir la ecuación de esta nueva forma:

 

$x\left ( x+3 \right )=10^{1}$

 

$x\left ( x+3 \right )-10=0$

 

$x^{2}+3x-10=0$

 

El problema se ha reducido a encontrar las raíces de una ecuación cuadrática (vé cómo hacerlo aquí), las raíces son $x=-5,2$ por último recordemos que el logaritmo no está definido para números negativos, entonces la única solución es $x=2$

 

Ejercicios

 

$35^{1-2x}=7$

 

$\log_{10}\left ( x-15 \right )=2-\log_{10}x$

 

Soluciones