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Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas


Es relativamente fácil resolver ecuaciones lineales o de segundo grado usando operaciones básicas como suma,resta, división y multiplicación, cuando se nos pide resolver una ecuación en la que la incógnita aparece como exponente entonces necesitaremos hacer uso de logaritmos y sus propiedades además de las operaciones antes mencionadas, un ejemplo de ecuación exponencial es este:

 

2^{x-3}=3

 

¿Cómo resolvemos una ecuación de este tipo? Usando logaritmos, veamos:

 

log\; 2^{x-3}=log\; 3

 

Se ha tomado el logaritmo en ambas partes de la ecuación (la base del logaritmo puede ser cualquiera). Después utilizamos la propiedad "Logaritmo de una potencia" que es log_{b}\; M^{n}=n\; log_{b}\; M es decir:

 

log\; 2^{x-3}=log\; 3

 

\left ( x-3 \right )\; log\; 2=log\; 3

 

A partir de aquí se usan las mismas reglas que empleamos en las ecuaciones que conocemos:

 

x-3=\frac{log\; 3}{log\; 2}

 

x=\frac{log\; 3}{log\; 2}+3

 

Ahora un ejemplo de ecuaciones logarítmicas usando logaritmos vulgares:

 

\log_{10}\left ( x+3 \right )+\log_{10}x=1

 

Recordemos que \log_{10}N+\log_{10}M=\log_{10}NM entonces la ecuación logarítmica anterior es igual a:

 

\log_{10}\left [ x\left ( x+3 \right ) \right ]=1

 

Según lo visto en "Logaritmos" la definición de un logaritmo incluye: \log_{b}x=y  es equivalente a la expresión  x=b^{y}, usando esto en el problema se puede escribir la ecuación de esta nueva forma:

 

x\left ( x+3 \right )=10^{1}

 

x\left ( x+3 \right )-10=0

 

x^{2}+3x-10=0

 

El problema se ha reducido a encontrar las raíces de una ecuación cuadrática (vé cómo hacerlo aquí), las raíces son x=-5,2 por último recordemos que el logaritmo no está definido para números negativos, entonces la única solución es x=2

 

Ejercicios

 

35^{1-2x}=7

 

\log_{10}\left ( x-15 \right )=2-\log_{10}x

 

Soluciones

Ecuación de la Circunferencia Ejemplos

En la entrada anterior "Ecuación de la Circunferencia" vimos la ecuación que describe una circunferencia en el plano cuyo centro es el punto \left ( h,k \right ) y radio r, esta ecuación es:

 

\left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}

 

Usando la ecuación anterior ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con radio \frac{1}{2} y centro en \left ( -3,1 \right )? Sustituyendo:

 

\left ( x-\left ( -3 \right ) \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}

 

\left ( x+3 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=\frac{1}{4}

 

Encuentra la ecuación de la circunferencia de los siguientes centros y radios:

 

Centro \left ( 0,0 \right ) y radio 1

 

Centro \left ( 3,-2 \right ) y radio 3

 

Centro \left ( 1,1 \right ) y radio \frac{1}{2}

 

Centro \left ( a,b \right ) y radio b-1

 

Soluciones

 

Forma General de la Ecuación de una Recta


Sabemos que para conocer la ecuación de una recta necesitamos saber un punto que esté en ella y la pendiente, otra forma es tener dos puntos que pasen por la misma recta, las explicaciones de como hacer esto puedes encontrarlas aquí y aquí respectivamente. Existe algo llamado forma general de la ecuación de la recta, simplemente es expresar la ecuación de la recta en el siguiente formato:

 

Ax+By+C=0

 

En esta ecuación lineal A o B son diferentes de cero. Supongamos que queremos poner la ecuación de la recta en su forma general de la recta que pasa por el punto \left ( 3,8 \right ) y cuya pendiente es 1, entonces usando la fórmula y-y_{1}=m\left ( x-x_{1} \right ) llegamos a:

 

y=x+5

 

Y la forma general de esta recta es:

 

-x+y-5=0

 

Donde A=-1 , B=1 y C=-5.

 

 

Punto Medio de un Segmento


Encontrar el punto medio de un segmento de recta que tiene como extremos los puntos A\left ( x_{1},y_{1} \right ) y B\left ( x_{2},y_{2} \right ) es muy simple, llamemos al punto medio M sus coordenadas son:

 

x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}

 

y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}

 

Con un ejemplo se entiende mejor, observa la siguiente imagen:

 

punto medio

 

Hay dos puntos en el plano A\left ( 10,5 \right ) y B\left ( 2,2 \right ) para encontrar el punto medio M usamos la fórmula:

 

x=\frac{10+2}{2}=6

 

y=\frac{5+2}{2}=\frac{7}{2}

 

Las coordenadas del punto M son \left ( 6,\frac{7}{2} \right ), visto en el plano nos queda:

 

punto medio formula ejemplo

 

Es conveniente recordar la fórmula del punto medio de un segmento pues es muy utilizada para diferentes problemas de geometría analítica, hay que decir que la fórmula es muy sencilla. En algunos casos es necesario dividir un segmento por una razón dada diferente a 1:1 entonces usaremos la siguiente fórmula:

 

x=\frac{x_{1}+x_{2}}{1+r}

 

y=\frac{y_{1}+y_{2}}{1+r}

 

Siendo r la razón y r\neq 0.

 

Ejercicios

Encuentra el punto medio del segmento definido por los puntos:

\left ( 3,1 \right )  y  \left ( 4,3 \right )

 

\left ( 0,0 \right )  y  \left ( 3,5 \right )

 

\left ( -1,0 \right )  y  \left ( -3,4 \right )

 

Soluciones

Cosecante de un Ángulo


Dada la siguiente figura:

La cosecante de un ángulo se define como la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto, la cosecante de los ángulos del triángulo anterior son:

 

csc  B=\frac{a}{b}

 

csc  C=\frac{a}{c}

 

La definición anterior implica que la cosecante y el seno son funciones recíprocas, se expresa de esta forma:

 

csc  B=\frac{1}{sen\; B}

 

Un ejemplo:

¿Cuál es el valor de la cosecante para los ángulos B y C del triángulo anterior?

 

csc  B=\frac{5}{3}

 

csc  C=\frac{5}{4}

 

Cotangente de un Ángulo


La definición de la cotangente es la siguiente: razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto, dicho de otra forma la cotangente de los ángulos B y C del siguiente triángulo son:

 

cot  B=\frac{c}{b}

 

cot  C=\frac{b}{c}

 

Se puede notar que la forma de abreviar cotangente es cot, ahora un ejemplo con un triángulo cuyos valores están dados:

 

cot  B=\frac{4}{3}

 

cot  C=\frac{3}{4}

 

Por la definición dada se deduce que la cotangente de un ángulo es recíproca a la tangente del mismo ángulo, es decir:

 

cot  B=\frac{1}{tan \;B}

 

Tangente de un Ángulo


La función tangente es aplicable a un ángulo, por definición sabemos que la tangente es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente en un triángulo rectángulo como el siguiente:

La notación para referirse a la función tangente es tan, usando la figura anterior definimos tangente como:

 

tan  B=\frac{b}{c}

 

tan  C=\frac{c}{b}

 

Un ejemplo con valores numéricos es el siguiente:

Los valores para la función tangente de los ángulos B y C son:

 

tan  B=\frac{3}{4}

 

tan  C=\frac{4}{3}

 

Ecuaciones Binomias


Las ecuaciones binomias es una ecuación que consta de dos términos, se puede usar la siguiente forma general para describirlas:

 

x^{n}\pm A=0

 

El siguiente es un ejemplo muy simple de cómo puede resolverse una ecuación binomia:

 

x^{4}-16=0

 

Es una ecuación binomia, para encontrar la solución a la ecuación utilizaremos la factorización pues es una diferencia de cuadrados, factorizando queda:

 

\left ( x^{2}+4 \right )\left ( x^{2}-4 \right )=0

 

Seguimos con el procedimiento habitual que es igualar cada factor a cero:

 

x^{2}+4=0

 

x^{2}=-4

 

x_{1}=\sqrt{-4}=2i    ,     x_{2}=-\sqrt{-4}=-2i

 

Ya hemos descubierto dos soluciones, ahora igualamos el otro factor a cero:

 

x^{2}-4=0

 

x=\sqrt{4}

 

x_{3}=2     ,     x_{4}=-2

 

Y así se encuentran las cuatro soluciones a la ecuación que son 2i , -2i , 2 y -2. En la siguiente entrada encuentra más ejemplos de ecuaciones binomias.

 

Ecuaciones Lineales Literales


Al incluir la palabra literales solo nos indica que tendremos que sacar el valor de las incógnitas en función de otras letras y no números, ejemplo:

 

xa=3

 

Tiene como solución:

 

x=\frac{3}{a}

 

Aunque no sabemos cuánto vale a estamos seguros que la solución que cumple con la igualdad es \frac{3}{a}. Siguiente ejemplo:

 

4\left ( ax+b \right )=3

 

Usamos las reglas que ya conocemos (puedes verlas aquí) :

 

4ax+4b=3

 

4ax=3-4b

 

x=\frac{3-4b}{4a}  

 

Ejercicios

Resuelve las siguientes ecuaciones literales para x:

3ax+1=b

 

\frac{a}{b}+ax=1

 

\frac{x}{a}+\frac{1}{b}=3

 

Soluciones

 

Conceptos Básicos de Geometría


Dentro de las cosas básicas que tienen que saberse en geometría están las siguientes definiciones:

 

Punto

La idea de el punto es que es infinitamente chico, no tiene dimensión, además existen infinitos puntos. Generalmente se le identifica con una figura como la siguiente:

 

punto

 

Línea

¿Qué es una línea?¿Qué tipos de líneas hay? Las líneas son conjuntos de puntos, hay varios tipos de líneas como la línea recta y líneas curvas, la línea recta se representa así:

 

linea_recta

La imagen que se muestra arriba es una línea que pasa por los puntos A y B. Ahora ejemplos de líneas curvas:

 

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