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Forma General de la Ecuación de una Recta


Sabemos que para conocer la ecuación de una recta necesitamos saber un punto que esté en ella y la pendiente, otra forma es tener dos puntos que pasen por la misma recta, las explicaciones de como hacer esto puedes encontrarlas aquí y aquí respectivamente. Existe algo llamado forma general de la ecuación de la recta, simplemente es expresar la ecuación de la recta en el siguiente formato:

 

Ax+By+C=0

 

En esta ecuación lineal A o B son diferentes de cero. Supongamos que queremos poner la ecuación de la recta en su forma general de la recta que pasa por el punto \left ( 3,8 \right ) y cuya pendiente es 1, entonces usando la fórmula y-y_{1}=m\left ( x-x_{1} \right ) llegamos a:

 

y=x+5

 

Y la forma general de esta recta es:

 

-x+y-5=0

 

Donde A=-1 , B=1 y C=-5.

 

 

Distancia entre Dos Puntos Ejemplos


A continuación se presentan dos ejercicios para resolver utilizando la fórmula vista en "Distancia entre dos puntos", observa la siguiente imagen:

 

distancia entre dos puntos

 

¿Cuál es la distancia entre el punto A y el punto B?

Las coordenadas del punto A son \left ( 8,2 \right ) y B\left ( 1,1 \right ) usamos la fórmula de la distancia y tenemos:

 

\overline{AB}=\sqrt{\left ( 8-1 \right )^{2}+\left ( 2-1 \right )^{2}}

 

\overline{AB}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}

 

\overline{AB}=5\sqrt{2}

 

La distancia es 5\sqrt{2}

 

 

 

Un triángulo está dado por los siguientes tres puntos A\left ( 3,5 \right )B\left ( 2,2 \right )C\left ( 6,2 \right ) ¿Cuál es su perímetro?

 

ejercicio distancia dos puntos

 

Sabemos que el perímetro es igual a la suma de los lados, entonces encontraremos la distancia entre cada dos puntos y la sumamos, primero:

 

\overline{AB}=\sqrt{\left ( 3-2 \right )^{2}+\left ( 5-2 \right )^{2}}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}

 

\overline{BC}=\sqrt{\left ( 2-6 \right )^{2}+\left ( 2-2 \right )^{2}}=\sqrt{16+0}=4

 

\overline{CA}=\sqrt{\left ( 6-3 \right )^{2}+\left ( 2-5 \right )^{2}}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}

 

Por lo tanto el perímetro del triángulo con vértices A , B y C es \sqrt{10}+4+3\sqrt{2}\approx 11.4049

 

Ejercicios

Encuentra la distancia entre los siguientes pares de puntos:

 

\left ( 3,1 \right )  y  \left ( 4,3 \right )

 

\left ( 0,0 \right )  y  \left ( 3,5 \right )

 

\left ( -1,0 \right )  y  \left ( -3,4 \right )

 

Soluciones

Ecuaciones Bicuadradas


Son ecuaciones bicuadradas las ecuaciones del tipo:

 

ax^{4}+bx^{2}+c=0

 

Como puede apreciarse el grado del primer término es el doble que aquel del segundo término, la constante c indica un valor independiente que no se ve afectado por la variable x. La ecuación anterior puede reducirse a la siguiente forma:

 

at^{2}+bt+c=0

 

Esto se logra con el cambio de variable t=x^{2}, dando lugar a una ecuación de segundo grado que sabes como resolver (ver aquí). Al final regresamos a nuestra variable inicial y encontramos las soluciones de la ecuación original. Veámoslo con un ejemplo:

 

x^{4}+9x^{2}+20=0

 

Aplicamos el cambio de variable t=x^{2} :

 

t^{2}+9t+20=0

 

Resolvemos para t, puede hacerse por la fórmula general o factorización, usaremos factorización:

 

t^{2}+9t+20=\left ( t+5 \right )\left ( t+4 \right )=0

 

t+5=0   entonces   t=-5

 

t+4=0   entonces   t=-4

 

Soluciones: t_{1}=-5     y     t_{2}=-4

 

Ahora volvemos a la ecuación original, recordemos que t=x^{2} entonces:

 

x^{2}=-5 tiene dos resultados:

 

x_{1}=\sqrt{-5}     ó     x_{2}=-\sqrt{-5}

 

 

x^{2}=-4 tiene dos resultados:

 

x=\sqrt{-4}

x_{3}=2i

 

ó

 

x=-\sqrt{-4}

x_{4}=-2i

 

De esta forma encontramos las soluciones de la ecuación bicuadrada original que son \sqrt{-5} , -\sqrt{-5} , 2i , -2i. En resumen se sigue el siguiente proceso para resolver una ecuación bicuadrada:

 

  • Se hace el cambio de variable t=x^{2} (usamos x como incógnita pero puede ser cualquier otra).

 

  • Se resuelve la ecuación resultante para t obteniendo dos valores.

 

  • Se regresa a la variable original sustituyendo x=\pm \sqrt{t} por cada valor de t de la ecuación anterior.

 

Recordemos que el teorema fundamental del álgebra nos dice que en un polinomio de grado 4 deberíamos encontrar 4 soluciones o raíces cuando es igualado a cero.

 

 

Ecuaciones Lineales Literales


Al incluir la palabra literales solo nos indica que tendremos que sacar el valor de las incógnitas en función de otras letras y no números, ejemplo:

 

xa=3

 

Tiene como solución:

 

x=\frac{3}{a}

 

Aunque no sabemos cuánto vale a estamos seguros que la solución que cumple con la igualdad es \frac{3}{a}. Siguiente ejemplo:

 

4\left ( ax+b \right )=3

 

Usamos las reglas que ya conocemos (puedes verlas aquí) :

 

4ax+4b=3

 

4ax=3-4b

 

x=\frac{3-4b}{4a}  

 

Ejercicios

Resuelve las siguientes ecuaciones literales para x:

3ax+1=b

 

\frac{a}{b}+ax=1

 

\frac{x}{a}+\frac{1}{b}=3

 

Soluciones

 

Resolución de Ecuaciones Lineales


Resolver una ecuación es encontrar el valor de las incógnitas para los cuales se cumple la igualdad, ejemplo:

 

x-3=2

 

En el ejemplo anterior es obvio que la respuesta es x=5 pues si sustituimos la x por un cinco entonces la igualdad se cumple:

 

5-3=2

 

Las ecuaciones cuyas incógnitas tienen exponente uno se llaman lineales o de primer grado. Las reglas que seguiremos para solucionar una ecuación lineal con una incógnita son las siguientes:

 

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Binomio al cubo


Un binomio al cubo también se encuentra entre los productos más importantes en álgebra, por eso se le conoce como un producto notable, recordemos que un binomio es una expresión algebráica que consta de dos términos, los siguientes son ejemplos de binomios:

 

a+b

 

x-3

 

\frac{a}{2}-\frac{b}{3}

 

Ahora si elevamos los mismos  binomios al cubo sería:

 

\left (a+b \right )^{3}

 

\left (x-3 \right )^{3}

 

\left (\frac{a}{2}-\frac{b}{3} \right )^{3}

 

Usemos el ejemplo del binomio a+b para explicar la regla de elevar un binomio al cubo:

 

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Números Complejos


Los números complejos o cantidades complejas son la "unión" de los números reales y la unidad imaginaria. A continuación veremos algunas de las reglas que siguen los números complejos.

 

i^{2}=-1

 

a+bi    Siendo a y b números reales.

 

a+bi=0 sí y solo sí a=b=0

 

\left (a+bi \right )+\left ( c+di \right )=\left ( a+c \right )+\left ( b+d \right )i

 

\left (a+bi \right )\left ( c+di \right )=ac+bci+adi+bdi^{2}=\left ( ac-bd \right )+\left ( bc+ad \right )i

 

Parte real y parte imaginaria

En el número complejo z=a+bi donde a y b son números reales, se le llama parte real a a y parte imaginaria a bi. Ejemplo:

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