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Pasar de la Forma General a la Forma Ordinaria de la Circunferencia


Existen ventajas a la hora de escribir la ecuación de una circunferencia de la forma general u ordinaria, dependiendo del problema podemos utilizar una u otra, ya se ha visto como pasar de la forma ordinaria a la forma general (aquí) ahora veremos cómo pasar de la forma general a la forma ordinaria. La forma general se vé así:

 

x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0

 

La ecuación anterior representa una circunferencia sólo si D^{2}+E^{2}-4F>0 (si el valor fuera cero entonces representaría un círculo de radio cero, en caso de que el valor fuera menor a cero tendríamos un círculo imaginario). Las coordenadas del centro de dicha circunferencia son:

 

\left ( -\frac{D}{2},-\frac{E}{2} \right )

 

Y el radio viene dado por la fórmula:

 

\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}

 

Veamos un ejemplo, pasar de la forma general a la forma ordinaria la siguiente ecuación:

 

x^{2}+y^{2}+3x-4y+5=0

 

Primero identificamos los valores para D,E,F:

 

D=3

 

E=-4

 

F=5

 

Puesto que D^{2}+E^{2}-4F=9+16-20 es mayor que cero entonces la ecuación sí representa una circunferencia en el plano real, su centro es \left ( -\frac{3}{2},2 \right ) y el radio:

 

\frac{1}{2}\sqrt{\left ( 3 \right )^{2}+\left ( -4 \right )^{2}-4\left ( 5 \right )}

 

\frac{1}{2}\sqrt{9+16-20}=\frac{\sqrt{5}}{2}

 

Por lo tanto la ecuación en su forma ordinaria es:

 

\left ( x+\frac{3}{2} \right )^{2}+\left ( y-2 \right )^{2}=\frac{5}{4}

 

Aunque estas fórmulas funcionan algo más instructivo es usar la técnica de completar el cuadrado (aquí) para hacer el proceso inverso al desarrollo de un binomio al cuadrado y por lo tanto pasar de la forma general a la forma ordinaria.

Forma General de la Ecuación de la Circunferencia

Ya se ha hablado que la circunferencia (aquí) en geometría analítica es representada por la ecuación:

 

\left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}

 

Si desarrollamos ambos binomios y trasladamos todas las variables a el lado izquierdo de la igualdad llegamos a lo que se conoce como forma general de la ecuación de la circunferencia, esto es:

 

x^{2}+y^{2}-2xh-2ky+h^{2}+k^{2}-r^{2}=0

 

Puesto que h,k,r son constantes la ecuación anterior se puede reescribir como:

 

x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0

 

Donde:

 

D=-2h

 

E=-2k

 

F=h^{2}+k^{2}-r^{2}

 

Toda circunferencia puede representarse con la ecuación \left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2} entonces cualquier circunferencia puede escribirse de la forma general puesto que el desarrollo de los binomios no altera la igualdad. Ejemplo: expresa la ecuación de la circunferencia en su forma general cuyo centro es el punto \left ( 3,1 \right ) y radio 2. Primero representamos la circunferencia usando la forma ordinaria:

 

\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=2^{2}

 

\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=4

 

Después desarrollamos ambos binomios y agrupamos términos del lado izquierdo:

 

x^{2}-6x+9+y^{2}-2y+1-4=0

 

x^{2}+y^{2}-6x-2y+6=0

 

Con eso se da por terminado el proceso. Se observa los valores de las siguientes constantes:

 

D=-6

 

E=-2

 

F=6

 

Ejercicios

 

Escribir en su forma general las siguientes circunferencias:

 

x^{2}+y^{2}=1

 

\left ( x-1 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2}=\frac{1}{4}

 

\left ( x-a \right )^{2}+\left ( y-b \right )^{2}=\left ( b-1 \right )^{2}

 

Soluciones

Forma General de la Ecuación de una Recta


Sabemos que para conocer la ecuación de una recta necesitamos saber un punto que esté en ella y la pendiente, otra forma es tener dos puntos que pasen por la misma recta, las explicaciones de como hacer esto puedes encontrarlas aquí y aquí respectivamente. Existe algo llamado forma general de la ecuación de la recta, simplemente es expresar la ecuación de la recta en el siguiente formato:

 

Ax+By+C=0

 

En esta ecuación lineal A o B son diferentes de cero. Supongamos que queremos poner la ecuación de la recta en su forma general de la recta que pasa por el punto \left ( 3,8 \right ) y cuya pendiente es 1, entonces usando la fórmula y-y_{1}=m\left ( x-x_{1} \right ) llegamos a:

 

y=x+5

 

Y la forma general de esta recta es:

 

-x+y-5=0

 

Donde A=-1 , B=1 y C=-5.