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Distancia de una Recta a un Punto Ejemplos

Encuentra la distancia de la recta con ecuación general 4x+2y-5=0 al punto \left ( 3,1 \right ), para resolver el ejercicio hay que usar la fórmula vista en la entrada "Distancia de una recta a un punto" que es:

 

d=\frac{\left | Ax_{1}+By_{1}+C \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}

 

Sustituimos los valores de la recta y el punto en esta fórmula:

 

d=\frac{\left | 4\cdot 3+2\cdot 1-5 \right |}{\sqrt{4^{2}+2^{2}}}

 

d=\frac{\left | 12+2-5 \right |}{\sqrt{16+4}}

 

d=\frac{\left | 9 \right |}{\sqrt{20}}=\frac{9}{2\sqrt{5}}=\frac{9\sqrt{5}}{10}

 

Ya hechas las operaciones y racionalizado el denominador encontramos la distancia del punto a la recta, en nuestro ejemplo este valor es \frac{9\sqrt{5}}{10}. Otro ejemplo más, ¿Cuál es la distancia de la recta 5x-3y+2 al punto \left ( 2,1 \right )? Usemos la fórmula para saber el resultado, sustituyendo valores tenemos:

 

d=\frac{\left | 5\cdot 2-3\cdot 1+2 \right |}{\sqrt{5^{2}+\left ( -3 \right )^{2}}}

 

d=\frac{\left | 10-3+2 \right |}{\sqrt{25+9}}

 

d=\frac{\left | 9 \right |}{\sqrt{34}}=\frac{9\sqrt{34}}{34}

 

Una vez más se ha racionalizado el denominador y la distancia de la recta al punto es \frac{9\sqrt{34}}{34}.

 

 

Punto Medio de un Segmento


Encontrar el punto medio de un segmento de recta que tiene como extremos los puntos A\left ( x_{1},y_{1} \right ) y B\left ( x_{2},y_{2} \right ) es muy simple, llamemos al punto medio M sus coordenadas son:

 

x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}

 

y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}

 

Con un ejemplo se entiende mejor, observa la siguiente imagen:

 

punto medio

 

Hay dos puntos en el plano A\left ( 10,5 \right ) y B\left ( 2,2 \right ) para encontrar el punto medio M usamos la fórmula:

 

x=\frac{10+2}{2}=6

 

y=\frac{5+2}{2}=\frac{7}{2}

 

Las coordenadas del punto M son \left ( 6,\frac{7}{2} \right ), visto en el plano nos queda:

 

punto medio formula ejemplo

 

Es conveniente recordar la fórmula del punto medio de un segmento pues es muy utilizada para diferentes problemas de geometría analítica, hay que decir que la fórmula es muy sencilla. En algunos casos es necesario dividir un segmento por una razón dada diferente a 1:1 entonces usaremos la siguiente fórmula:

 

x=\frac{x_{1}+x_{2}}{1+r}

 

y=\frac{y_{1}+y_{2}}{1+r}

 

Siendo r la razón y r\neq 0.

 

Ejercicios

Encuentra el punto medio del segmento definido por los puntos:

\left ( 3,1 \right )  y  \left ( 4,3 \right )

 

\left ( 0,0 \right )  y  \left ( 3,5 \right )

 

\left ( -1,0 \right )  y  \left ( -3,4 \right )

 

Soluciones

Perímetro de un Triángulo


El perímetro se define como la suma de los lados de una figura, por lo tanto para obtener el perímetro de un triángulo necesitamos saber el tamaño de sus lados.

 

triangulo isosceles ejemplo geogebraejemplo triangulo escaleno geogebra

 

Tenemos tres triángulos diferentes, el primero es equilátero, el segundo isósceles y el tercero escaleno, la fórmula para conocer el perímetro de cualquiera de ellos es la misma, el perímetro es igual a la suma de los lados:

 

p=a+b+c

 

Calculemos el perímetro de un triángulo:

 

triangulo rectangulo ejemplo perimetro

 

Según la fórmula p=a+b+c entonces:

 

p=3+4+5

 

p=12

 

 

Radianes a Grados Sexagesimales


Para convertir de radianes a grados sexagesimales se utiliza la siguiente igualdad:

 

\frac{S}{180}=\frac{R}{\pi }

 

La relación anterior se explicó en la entrada "Radianes", ejemplo ¿Expresar en grados sexagesimales 2\pi radianes? Usamos la igualdad anterior y sustituimos R por 2\pi:

 

\frac{S}{180}=\frac{2\pi}{\pi }

 

S=\frac{180\left (2\pi \right ) }{\pi }=360

 

La respuesta es 2\pi radianes son 360^{\circ} sexagesimales.

 

Python script

rad = raw_input("Radianes a Sexagesimal: ")
rad = float(rad)
sexag=(180*rad)/3.1416
print " %f radianes son %d grados sexagesimales" % (rad,sexag)