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Problema (Teoría de números)


Una manguera llena un estanque de agua en 12 horas. Otra manguera lo llena en 10 horas y un tubo de desagüe lo vacía en 6 horas. ¿En cuanto tiempo se llena el estanque si las dos mangueras y el desagüe están abiertos?

La parte del estanque que se llena en una hora es:

 

\frac{1}{12}+\frac{1}{10}-\frac{1}{6}=\frac{5+6-10}{60}=\frac{1}{60}

 

La suma de fracciones nos muestra que en una hora se llena \frac{1}{60} partes del tanque, por lo tanto se necesitan de 60 horas para llenarlo.

 

 

Convertir porcentajes a fracciones


Hay que recordar que cuando escribimos 1% nos referimos a la fracción \frac{1}{100}, teniendo esto en cuenta veamos ejemplos:

 

5\%=5\cdot \frac{1}{100}=\frac{5}{100}=\frac{1}{20}  palomita

 

25\%=25\cdot \frac{1}{100}=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}  palomita

 

75\%=75\cdot \frac{1}{100}=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}  palomita

 

1\% es lo mismo que la fracción \frac{1}{100}

Convertir Decimales a Fracciones


Para convertir decimales a fracciones multiplicaremos el decimal por 1 de una forma "especial". Ejemplo:

 

0.48=\frac{.48\cdot 100}{100}=\frac{48}{100}=\frac{12}{25}  palomita

 

1.72=\frac{1.72\cdot 100}{100}=\frac{172}{100}=\frac{43}{25}  palomita

 

0.045=\frac{0.045\cdot 1000}{1000}=\frac{45}{1000}=\frac{9}{200}  palomita

 

En los casos anteriores la fracción se multiplicó por 1 o lo que es lo mismo: \frac{100}{100} o \frac{1000}{1000} después se simplificó la fracción.

 

Ejercicios:

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Fracciones Compuestas


Las fracciones compuestas o números mixtos son los que incluyen un entero y una fracción, ejemplos de números mixtos son:

 

3\tfrac{1}{2},    5\tfrac{3}{5},     2\tfrac{2}{7},    etc.

 

Para poder utilizar los números mixtos primero deben convertirse a fracciones simples, esto se hace como se ilustra a continuación:

 

3\tfrac{1}{2}=3+\frac{1}{2}=\frac{3\cdot 2}{2}+\frac{1}{2}=\frac{6+1}{2}=\frac{7}{2}  palomita

 

5\tfrac{3}{5}=5+\frac{3}{5}=\frac{5\cdot 5}{5}+\frac{3}{5}=\frac{25+3}{5}=\frac{28}{5}  palomita

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¿Por qué fracciones y no decimales?


Cuando se trata de representar una parte de un entero tenemos varias formas de hacerlo, por ejemplo la mitad  de una pizza puede escribirse como:

0.5 pizza  o como \frac{1}{2} pizza

La primera notación se llama decimal, la segunda es una fracción, ¿Cuál deberíamos usar cuando resolvemos problemas matemáticos? Veamos un ejemplo para responder la pregunta.

 

Modelo vs Realidad

En matemáticas siempre se está hablando de figuras ideales o dicho de otra forma cosas que no existen en la  realidad, imaginemos un cuadrado, es una figura con sus cuatro lados de igual medida, en la realidad no existe dicha cosa, un cuadrado perfecto no se puede encontrar en la naturaleza, sin embargo es necesario tener una figura sin imperfecciones porque así funcionan las matemáticas, sin errores. El cuadrado nos sirve como modelo para hacer pisos, techos, delimitar terrenos, etc. Los decimales es una excelente forma de representar una parte del entero (en física son bastante útiles), pero no siempre son los más convenientes a la hora de resolver un problema. Supongamos que compramos una pizza y la queremos repartir entre 3 amigos, usando decimales diremos que a cada uno le tocaría 0.333 pizza, el problema surge cuando "unimos" las tres partes y nos damos cuenta de algo: 3\left ( 0.333 \right )=0.999 casi la pizza entera. Con las fracciones no tenemos ese problema, a cada amigo le tocaría \frac{1}{3} de pizza y al juntar las tres partes tenemos 3\left (\frac{1}{3}\right )=1. Las fracciones representan mejor al modelo y los decimales a la realidad.

 

Los humanos preferimos fracciones, las computadoras decimales.

 

 

 

División de Fracciones


Para dividir fracciones no es necesario que los denominadores sean iguales, es interesante que para dividir una fracción tengamos que multiplicar.  Ejemplo de división de fracciones, supongamos que queremos dividir \frac{5}{3} entre \frac{1}{2}, si pusieramos esas fracciones en forma de división quedaría:

 

\frac{\frac{5}{3}}{\frac{1}{2}}

 

El resultado lo obtenemos multiplicando los números exteriores (es decir 5 y 2) para sacar el numerador y multiplicar los números del centro (1 y 3) para obtener el denominador. Es como sigue:

 

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Multiplicación de Fracciones



Una de las operaciones más sencillas que se pueden hacer con las fracciones es multiplicarlas, ejemplo:

 

\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{5}=\frac{4\cdot 3}{9\cdot 5}=\frac{12}{45}=\frac{4}{15} palomita

 

Lo que se hace es multiplicar el número de arriba de la primera fracción con el número de arriba de la segunda y ya está el numerador de la fracción resultado, para el denominador multiplicamos los números que van abajo entre sí.

 

Más Ejemplos

 

\frac{7}{8}\cdot \frac{4}{2}=\frac{7\cdot 4}{8\cdot 2}=\frac{28}{16}=\frac{7}{4}  palomita

 

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Resta de Fracciones


Para poder restar fracciones es necesario tener una idea presente antes de comenzar:

 

Para restar fracciones ambas deben tener el mismo denominador

 

Con esto en mente empecemos, denominador es otra palabra que se le da al número que va abajo en una fracción, 7 es el denominador en \frac{5}{7}. Ejemplo de resta de fracciones:

 

\frac{5}{7}-\frac{3}{7}=\frac{5-3}{7}=\frac{2}{7}  palomita

 

Al haber mismo denominador se puede hacer la resta directamente. Ejemplo de resta de fracciónes con diferente denominador:

 

\frac{5}{7}-\frac{3}{2}

 

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Suma de Fracciones


La suma de fracciones se representa así: \frac{1}{3}+\frac{1}{5} y para poder sumarlas es necesario tener el mismo denominador, denominador es otra palabra para nombrar al número que está debajo. ¿Cómo se hace la suma de fracciones ? A continuación algunos ejercicios resueltos de suma de fracciones:

 

\frac{7}{3}+\frac{1}{3}

 

En la fracción de arriba existe el mismo denominador, la solución del problema es sumar los numeradores (números que van arriba) y dejar el mismo denominador, sería:

 

\frac{7}{3}+\frac{1}{3}=\frac{7+1}{3}=\frac{8}{3}

 

Fracciones con diferente denominador

Cuando tenemos diferente denominador haremos lo siguiente, vamos a usar el ejemplo del inicio:

 

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